Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 16 стр.

                                                                    16
| x(t + δ ) − x(t ) | ∼ | δ | α , δ → 0 . Стандартный подход состоит в вычислении статистической
суммы Гиббса:


                                               [ N / s]
                                W ( q, s ) =    ∑ (max Δy
                                                k =1
                                                          1≤t ≤ s
                                                                        ( s ,m )
                                                                         k         (t ) − min Δy (ks , m ) (t )) q
                                                                                          1≤t ≤ s
                                                                                                                     (53)



и определения показателя массы τ (q) из условия W (q, s ) ∼ sτ ( q ) , после чего спектр F (α )
вычисляется согласно формуле:


                                          F (α ) = max { min(α q − τ (q )), 0 }                                      (54)
                                                                    q




Сравнивая (52) и (53), нетрудно заметить, что τ (q ) = ρ (q ) − 1 = qh(q) − 1 . Таким образом,
F (α ) = max { min(q (α − h(q )) + 1, 0 } .
                   q


    Для монофрактального процесса, когда h(q ) = H = const , получаем, что F ( H ) = 1 и
F (α ) = 0 ∀α ≠ H . В частности, положение и ширина носителя спектра F (α ) , то есть

значения α min , α max , Δα = α max − α min и α * - то значение, которое доставляет функции F (α )

максимум: F (α * ) = max F (α ) , являются характеристиками шума. Величину α * можно
                            α

назвать обобщенным показателем Херста. Для монофрактального сигнала теоретически
значение Δα должно быть равно нулю, а α * = H , но на практике, вследствие конечности
выборки, такие условия не выполняются. Что же касается значения F (α * ) , то оно равно
фрактальной размерности точек, для окрестности которых выполняется масштабирующее
соотношение M (δ , q) ∼ | δ | ρ ( q ) .
    Если оценивать спектр F (α ) в скользящем временном окне, то его эволюция может дать

информацию об изменении структуры хаотических пульсаций ряда. Обычно F (α * ) = 1 , но

встречаются окна, для которых F (α * ) < 1 . Напомним, что в общем случае (не только для

анализа временных рядов) величина F (α * ) равна фрактальной размерности носителя
мультифрактальной меры.
    7. Пример анализа данных. На рис.1(а) представлен график временного ряда наблюдений
за вариациями электротеллурических потенциалов на Камчатке из работы. Общая
продолжительность наблюдений составляет 4 года 8 месяцев (с 01.10.1996 по 23.06.2001),