Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 14 стр.

                                                  14
появился раньше и основан на анализе цепей точек максимума модулей непрерывных
вейвлет-преобразований с вейвлетами, обычно равными производной той или иной степени
от функции плотности распределения Гаусса [1]. Второй подход более близок к технике
Херста и основан на анализе зависимости стандартного отклонения или размаха выборки от
ее длины. В последнее время был разработан и активно применяется в различных
приложениях метод анализа флуктуаций после исключения масштабно-зависимых трендов –
Detrended Fluctuation Analysis (DFA) [4]. Сравнительный опыт применения методов
показывает, что метод DFA является более надежным и устойчивым. В то же время для
специального вида самоподобных сигналов, которые могут содержать плато постоянных
значений (типа известной «чертовой лестницы», конструируемой на базе канторовского
множества), метод DFA неприменим и оценка, основанная на непрерывных вейвлет-
преобразованиях, имеет преимущества. Ниже будет использован только DFA и приведены
основные конструкции метода.
    Пусть x(t ) – случайный процесс. Определим в качестве меры μ X (t , δ ) изменчивости

сигнала x(t ) на интервале [t , t + δ ] модуль его приращения: μ x (t , δ ) =| x(t + δ ) − x(t ) | и

вычислим среднее значение модуля таких мер в степени q :


                                           M (δ , q) = M {( μ x (t , δ )) q }                  (46)


    Случайный процесс называется масштабно-инвариантным, если M (δ , q) ∼ | δ | ρ ( q ) при
δ → 0 , то есть существует предел:


                                                         ln M (δ , q )
                                         ρ (q) = lim                                           (47)
                                                 δ →0       ln | δ |


  Заметим, что в определении (46-47) величина меры μ x (t , δ ) может быть взята также как
размах, что ближе к традиционным конструкциям Херста:


                                        μ x (t , δ ) = max x(u ) − min x(u )                   (48)
                                                    t ≤ u ≤ t +δ     t ≤ u ≤ t +δ




  Если зависимость ρ (q ) является линейной: ρ (q ) = Hq , где H = const , 0 < H < 1 , то
процесс называется монофрактальным. В частности, для классического броуновского
движения H = 0.5 . Возведение в степень q подчеркивает различные типы поведения