Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

11
f) Значение параметра Херста 1 для самоподобного процесса. Действительно, имеем:
H ≤
|(2)| |(2) (1) (1)| |(2) (1)| |(1)|2 |(1)|
MZ MZ Z Z MZ Z MZ MZ=−+≤−+= (37)
С другой стороны, в силу самоподобия |(2)|2 |(1)| 2 2 1
HH
MZ MZ H
=
⇒≤⇒≤ .
g) Если , то
1H =
2
() () (,)
H
M
ZsZt st st
σ
=Γ = . Отсюда
22 22 22 2
(() (1)) () 2 (()(1)) (1) ( 2 ) 0MZt tZ MZ t tMZtZ tMZ t tt t
σ
−= − + =−+= (38)
то есть () (1)
Z
ttZ= почти всюду.
Пусть ()
Z
t Hsssi∈ , и ()01H<<
Z
t - гауссовский процесс. Тогда ()
Z
t называется
фрактальным броуновским движением и обозначается ()
H
B
t . Если , то 0.5H =
()
Z
t
является обычным броуновским движением или винеровским процессом. Нетрудно
получить, что в случае, если
2
0.5
(,) min(| |,| |)st s t
σ
Γ=
() ()sign t sign s
=
и , если
. Одно из возможных представление fBm:
0.5
(,) 0stΓ=
() ()sign t sign s≠
0.5 0.5
0.5
() [( ) ( ) ] ( ); max(0, )
HH
HH
tk tu u dBu u u
+∞
−−
++ +
−∞
=−−− =
∫
(39)
Здесь
H
k - нормировочная постоянная. Если выбрать:
2
1
0
2(1.5)
,
(0.5)(22)
() , 0,(0.5) ,(1)1,(1)
H
tu
HH
k
HH
uetdtu n n
π
∞
−−
⋅Γ −
=
Γ+ ⋅Γ−
Γ= > Γ = Γ= Γ+=
∫
!
=
(40)
то . Хаусдорфова размерность реализаций
22
() 1
H
MB t
σ
= ()
H
B
t равна 2.
H
DH=−
Рассмотрим приращения процесса ()
H
B
t : ( 1) ( )
kH H
X
Bk Bk
=
+− . Эта случайная
последовательность называется
фрактальным гауссовским шумом. Для фрактального шума
справедливы утверждения:
(i)
k
X
стационарна.
(ii)
22
0,
kk
MX MX
σ
==
(iii)
22 2 2
() (| 1| 2| | | 1| )/2
HH H
XX i i k
kMXX k k k
γσ
+
==+−+−
                                                                        11
f) Значение параметра Херста H ≤ 1 для самоподобного процесса. Действительно, имеем:


               M | Z (2) |= M | Z (2) − Z (1) + Z (1) |≤ M | Z (2) − Z (1) | + M | Z (1) |= 2 M | Z (1) |              (37)


С другой стороны, в силу самоподобия M | Z (2) |= 2 H M | Z (1) | ⇒ 2 H ≤ 2 ⇒ H ≤ 1 .

g) Если H = 1 , то MZ ( s ) Z (t ) = Γ H ( s, t ) = stσ 2 . Отсюда


             M ( Z (t ) − tZ (1)) 2 = MZ 2 (t ) − 2tM ( Z (t ) Z (1)) + t 2 MZ 2 (1) = σ 2 (t 2 − 2tt + t 2 ) = 0      (38)


то есть Z (t ) = tZ (1) почти всюду.
     Пусть Z (t ) ∈ Hsssi , 0 < H < 1 и Z (t ) - гауссовский процесс. Тогда Z (t ) называется
фрактальным броуновским движением и обозначается BH (t ) . Если H = 0.5 , то Z (t )
является обычным броуновским движением или винеровским процессом. Нетрудно
получить, что Γ 0.5 ( s, t ) = σ 2 min(| s |, | t |) в случае, если sign(t ) = sign( s ) и Γ 0.5 ( s, t ) = 0 , если

sign(t ) ≠ sign( s ) . Одно из возможных представление fBm:


                                         +∞

                                          ∫ [(t − u )
                                                        H − 0.5
                         BH (t ) = k H                  +         − (−u ) +H −0.5 ] dB0.5 (u ); u+ = max(0, u )        (39)
                                         −∞




Здесь k H - нормировочная постоянная. Если выбрать:


                                       2 H ⋅ Γ(1.5 − H )
                          k H2 =                             ,
                                   Γ( H + 0.5) ⋅ Γ(2 − 2 H )
                                    ∞
                                                                                                                       (40)
                          Γ(u ) = ∫ e t dt , u > 0, Γ(0.5) = π , Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
                                         − t u −1

                                     0


то σ 2 = MBH2 (t ) = 1 . Хаусдорфова размерность реализаций BH (t ) равна DH = 2 − H .

     Рассмотрим приращения процесса                                   BH (t ) :   X k = BH (k + 1) − BH (k ) . Эта случайная
последовательность называется фрактальным гауссовским шумом. Для фрактального шума
справедливы утверждения:
(i) X k стационарна.

(ii) MX k = 0, MX k2 = σ 2

(iii) γ XX (k ) = MX i X i + k = σ 2 (| k + 1|2 H −2 | k |2 H + | k − 1|2 H ) / 2

Страницы