Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 9 стр.

                                                                       9
                                                          ξ ln( p) + (1 − ξ ) ln(1 − p)
                                         α (ξ ) = −                                                                                         (28)
                                                                           ln(2)


и выразить f (ξ ) через α , то мы получим спектр сингулярностей F (α ) . Если p < 1/ 2 , то


                     α min = − ln(1 − p) / ln(2) = α (ξ = 0),
                     α max = − ln( p) / ln(2) = α (ξ = 1)                                                                                   (29)
                                                                                                ln( p ) + ln(1 − p )
                     max F (α ) = F (α 0 ) = 1, α 0 = α (ξ = 0.5) = −
                       α                                                                               ln(2)


Показатель массы для биномиального процесса находится из выражения


                                  n (δ )              n
                                                               n!
                     N ( q, δ ) = ∑ μ = ∑     q
                                                                       p qk (1 − p) q ( n − k ) = ( p q + (1 − p ) q ) n                    (30)
                                                   k = 0 k !( n − k )!
                                             i
                                      i =1




Поскольку δ = δ n = 2− n , то

                                                     ln N (q, δ ) ln( p q + (1 − p ) q )
                                      τ (q) = − lim              =                                                                          (31)
                                                δ →0   ln | δ |          ln(2)


Как и должно быть τ (q = 0) = D = 1 - размерность носителя меры – единичного отрезка.
    4.   Фрактальное          броуновское                 движение.            Случайный                процесс              Z (t )   называется
самоподобным с индексом H , H > 0 , если функция распределения случайной величины

Z (a ⋅ t ) совпадает с ф.р. величины a H ⋅ Z (t ) . Параметр H называется масштабирующей
экспонентой или параметром Херста.
    Если процесс Z (t ) самоподобен с параметром H («H-самоподобен»), то процесс

Y (t ) = e − tH Z (et ) стационарен в узком смысле. Обратно, если процесс Y (t ) стационарен в

узком смысле, то процесс                     Z (t ) = t H ⋅ Y (ln t ), t > 0             самоподобен с параметром                            H.
Действительно, для любых постоянных h, θ j , t j , j = 1,..., m справедливо равенство:


                       m                          m                                    d m                               m

                      ∑θ Y (t         + h) = ∑ θ j e                 e − hH Z (e h e j ) =∑ θ j e            Z (e j ) = ∑ θ jY (t j )
                                                            −t j H                 t                −t j H       t
                              j   j                                                                                                         (32)
                       j =1                       j =1                                   j =1                           j =1