Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6
Отсюда получаем
() () ()
() () ()
dq dF d d d dF
qq q q q
dq d dq dq dq d
ταα α αα
αα
αα
⎛⎞
=−−=−+ −=−
⎜⎟
⎝⎠
α
(14)
и имеют место обратные формулы:
() ()
,()() ()
dq dq
Fqqqq
dq dq
τ
τ
αατατ
=− = + = − (15)
Последние формулы можно использовать для параметрического задания функции ()F
α
.
Если ()F
α
является выпуклой функцией, то ()q
τ
также выпукла, а ()F
α
может
вычислена согласно преобразованию Лежандра:
( ) min( ( )), ( , )
q
Fqqq
α
ατ
=+ ∈−∞+∞ (16)
Реально нас интересуют лишь случаи () 0F
α
≥ , поэтому
(
)
( ) min( ( )) max{min( ( )),0}
qq
Fqq qq
αατ ατ
+
=+= + (17)
Этот способ вычисления
()F
α
не требует взятия производной от численно найденной
функции
()q
τ
.
3. Мультипликативный биномиальный процесс. Этот процесс является одним из самых
популярных примеров мультфрактального процесса и строится как предел следующих
итераций. На нулевой итерации рассматривается единичный отрезок и ему
приписывается мера 1. Далее отрезок делится пополам на 2 равные части и левой половине
приписывается мера
[0,1]
,0 1
p
p<<, а правой половине – мера 1
p
. На второй итерации
каждая половина делится пополам в свою очередь и каждой половине от половин также
приписывается мера в пропорции
p
для левой части и 1
p
−
для правой. Таким образом, на
2-ой итерации имеем четвертинки, имеющие меры (слева направо)
2
p
, (1 )
p
p− , (1 )
p
p
−
и
2
(1 )
p
− . Далее каждый из 4-х отрезков опять делится пополам и меры перераспределяются в
той же пропорции и т.д. 
                                                   6
Отсюда получаем


             dτ (q ) dF (α ) dα             dα            dα ⎛ dF (α )     ⎞
                    =           − α (q) − q    = −α (q) +    ⎜         − q ⎟ = −α (q)                (14)
              dq      dα dq                 dq            dq ⎝ dα          ⎠


и имеют место обратные формулы:


                              dτ (q)                                    dτ (q)
                       α =−          , F (α ) = τ (q) + qα = τ (q ) − q                              (15)
                               dq                                        dq


Последние формулы можно использовать для параметрического задания функции F (α ) .
   Если F (α ) является выпуклой функцией, то τ (q) также выпукла, а F (α ) может
вычислена согласно преобразованию Лежандра:


                             F (α ) = min(qα + τ (q)), q ∈ (−∞, +∞)                                  (16)
                                         q




Реально нас интересуют лишь случаи F (α ) ≥ 0 , поэтому



                                 (                   )
                                                         +
                          F (α ) = min(qα + τ (q))           = max { min(qα + τ (q)), 0 }            (17)
                                     q                                 q




Этот способ вычисления F (α ) не требует взятия производной от численно найденной
функции τ (q) .
   3. Мультипликативный биномиальный процесс. Этот процесс является одним из самых
популярных примеров мультфрактального процесса и строится как предел следующих
итераций. На нулевой итерации рассматривается единичный отрезок [0,1]                             и ему
приписывается мера 1. Далее отрезок делится пополам на 2 равные части и левой половине
приписывается мера p, 0 < p < 1 , а правой половине – мера                     1 − p . На второй итерации
каждая половина делится пополам в свою очередь и каждой половине от половин также
приписывается мера в пропорции p для левой части и 1 − p для правой. Таким образом, на

2-ой итерации имеем четвертинки, имеющие меры (слева направо) p 2 , p(1 − p) , (1 − p ) p и

(1 − p) 2 . Далее каждый из 4-х отрезков опять делится пополам и меры перераспределяются в
той же пропорции и т.д.

Страницы