Фрактальный анализ временных рядов. Любушин А.А. - 4 стр.

                                                                4
При q > 0 основной вклад в N (δ , q ) совершают кубы (ячейки) с большими значениями μi , а
                                                                                         −τ ( q )
при q < 0 - ячейки с малыми значениями меры. Пусть N (q, δ ) ∼ δ                                    при δ → 0 , то есть
существует предел (называемый показателем массы):


                                                                    ln N (q, δ )
                                                 τ (q) = − lim                                                      (5)
                                                            δ →0      ln | δ |


Заметим, что если q = 0 , то μiq =0 = 1 и N (δ , q) = n(δ ) - просто число ячеек с линейным

размером δ , покрывающих множество точек. В этом случае, согласно определению
τ (q = 0) = D - фрактальная размерность множества точек.
                                 n (δ )
Если q = 1 , то N (q = 1, δ ) = ∑ μi = 1 и, следовательно, τ (q = 1) = 0 .
                                  i =1


Вычислим (представляя μiq = exp(q ln( μi )) ):



                                          dτ (q)            ∑i μiq ln(μi )
                                                 = − lim                                                            (6)
                                                     δ →0 ⎛
                                           dq                    q⎞
                                                          ⎜ ∑ μi ⎟ ln | δ |
                                                          ⎝ i      ⎠


Пусть μmin (δ ) = min { μi (δ ), μi (δ ) > 0 } . Тогда:
                      i




                            dτ (q )                     ∑   /
                                                                μmin
                                                                 q
                                                                     ln( μmin )
                                                                            ln( μmin (δ ))
                                      = − lim i                    = − lim                                          (7)
                             dq q →−∞     δ →0 ⎛
                                                   / q ⎞
                                                                       δ →0    ln | δ |
                                               ⎜ ∑ μmin ⎟ ln | δ |
                                               ⎝ i      ⎠


где   ∑
      i
          /
              означает суммирование лишь по тем ячейкам, для которых μi = μmin (δ ) . Поскольку

по определению показателя Гельдера-Липшица вариация меры δ M ∼| δ |α , δ → 0 , то при

малых δ величина | δ |α минимальна когда α = α max . Отсюда следует:


                                             ln( μ min (δ ))              dτ (q )
                                     lim                     = α max ,              = −α max                        (8)
                                      δ →0      ln | δ |                   dq q →−∞


Аналогично показывается, что