Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
4.3. С помощью второго замечательного предела получается формула для
раскрытия неопределенности вида 1
∞
, а именно, если U(x) → 1, а V (x) →
∞ при x → a, то
lim
x→a
U(x)
V (x)
= e
A
, где A = lim
x→a
(U(x) − 1)V (x).
(Формула получается из тождественного равенства:
U(x)
V (x)
=
µ
1 + (U(x) − 1)
1
U(x) − 1
(U(x)−1)V (x)
.
4.4. Из второго замечательного предела также получаем:
lim
x→0
ln(
1
+
x
)
x
= 1.
4.5. В свою очередь, из предыдущего получаются значения еще двух преде-
лов:
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ.
5 Для доказательства первого из двух равенств обозначим a
x
− 1 = α и
прологарифмируем равенство a
x
= 1 + α. Получим x ln a = ln(1 + α), откуда
x =
ln(1 + α)
ln a
. Тогда
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
α→0
α ln a
ln(1 + α)
= ln a.
Аналогично, для доказательства второго равенства обозначим (1+x)
µ
−1 = α
и прологарифмируем равенство (1 + x)
µ
= 1 + α. Получим: µ ln(1 + x) =
ln(1 + α). Из равенств
(1 + x)
µ
− 1
x
=
α
x
=
α
ln(1 + α)
·
ln(1 + α)
x
=
α
ln(1 + α)
·
µ ln(1 + x)
x
с учетом того, что x → 0 влечет α → 0, и lim
α→0
α
ln(1 + α)
= 1,
получим
20
                                             1
                                lim (1 + x) x = e.
                                x→0

4.3. С помощью второго замечательного предела получается формула для
раскрытия неопределенности вида 1∞ , а именно, если U (x) → 1, а V (x) →
∞ при x → a, то
lim U (x)V (x) = eA , где A = lim (U (x) − 1)V (x).
x→a                          x→a
(Формула получается из тождественного равенства:
                                            1     (U (x)−1)V (x)
                         µ              ¶
                                                  
          U (x)V (x) =  1 + (U (x) − 1) U (x) − 1                .


4.4. Из второго замечательного предела также получаем:
                                   ln(1 + x)
                               lim           = 1.
                               x→0     x
4.5. В свою очередь, из предыдущего получаются значения еще двух преде-
лов:
                                   ax − 1
                               lim        = ln a.
                               x→0    x

                            (1 + x)µ − 1
                        lim              = µ.
                        x→0      x
5 Для доказательства первого из двух равенств обозначим ax − 1 = α и
прологарифмируем равенство ax = 1 + α. Получим x ln a = ln(1 + α), откуда
    ln(1 + α)
x=            . Тогда
       ln a
                        ax − 1         α ln a
                    lim        = lim           = ln a.
                    x→0    x     α→0 ln(1 + α)

Аналогично, для доказательства второго равенства обозначим (1+x)µ −1 = α
и прологарифмируем равенство (1 + x)µ = 1 + α. Получим: µ ln(1 + x) =
                       (1 + x)µ − 1 α       α       ln(1 + α)        α
ln(1 + α). Из равенств             = =            ·           =            ·
                            x       x   ln(1 + α)       x        ln(1 + α)
µ ln(1 + x)                                                     α
            с учетом того, что x → 0 влечет α → 0, и lim               = 1,
     x                                                  α→0 ln(1 + α)
получим

                                        20

Страницы