Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.6.8. Пример.lim
x→0
(1 + x
2
)
ctg
2
x
= {1
∞
} = e
A
, где
A = lim
x→0
(1 + x
2
− 1) ctg
2
x = lim
x→0
x
2
cos
2
x
sin
2
x
= lim
x→0
x
2
sin
2
x
· lim
x→0
cos
2
x = 1.
Таким образом, lim
x→0
(1 + x
2
)
ctg
2
x
= e.
4.6.9. Пример. lim
x→∞
¡
sin
1
x
+ cos
1
x
¢
x
= e
A
, где
A = lim
x→∞
µ
sin
1
x
+ cos
1
x
− 1
x =
= lim
x→∞
µ
sin
1
x
1
x
−
1 − cos
1
x
1
x
2
·
1
x
= 1 −
1
2
· 0 = 1.
Таким образом, lim
x→∞
¡
sin
1
x
+ cos
1
x
¢
x
= e.
4.6.10. Пример. lim
x→π/2
³
tg
x
2
´
1
x−π/ 2
= e
A
, где A = lim
x→π/2
tg x/2 − 1
x − π/2
=
= lim
x→π/2
sin x/2 − cos x/2
(cos x/2)(x − π/2)
= lim
x→π/2
cos(π/2 − x/2) − cos x/2
x − π/2
=
= lim
x→π/2
2(sin π/4) sin
x − π/2
2
x − π/2
= lim
x→π/2
√
2 sin
x − π/2
2
2 ·
x − π/2
2
=
√
2
2
.
Таким образом, lim
x→π/2
³
tg
x
2
´
1
x−π/ 2
= e
√
2/2
. lim
x→0
(1 + x
2
)
ctg
2
x
= {1
∞
} = e
A
, где
A = lim
x→0
(1 + x
2
− 1) ctg
2
x =
= lim
x→0
x
2
cos
2
x
sin
2
x
== lim
x→0
x
2
sin
2
x
· lim
x→0
cos
2
x = 1.
Таким образом, lim
x→0
(1 + x
2
)
ctg
2
x
= e.
4.6.11. Пример. lim
x→∞
¡
sin
1
x
+ cos
1
x
¢
x
= e
A
,где A = lim
x→∞
¡
sin
1
x
+ cos
1
x
− 1
¢
x =
= lim
x→∞
µ
sin
1
x
1
x
−
1 − cos
1
x
1
x
2
·
1
x
= 1 −
1
2
· 0 = 1.
Таким образом, lim
x→∞
¡
sin
1
x
+ cos
1
x
¢
x
= e.
22
                                          2
4.6.8. Пример. lim (1 + x2 )ctg               x
                                                  = {1∞ } = eA , где
                  x→0


                                                              2
                    2                 2                  2 cos x        x2
    A = lim (1 + x − 1) ctg x =                    lim x      2  = lim 2 · lim cos2 x = 1.
           x→0                                     x→0      sin x x→0 sin x x→0
                                          2
Таким образом, lim (1 + x2 )ctg x = e.
               x→0
                     ¡              ¢x
4.6.9. Пример. lim sin x1 + cos x1 = eA , где
                   x→∞
                                  µ            ¶
                                     1     1
                          A = lim sin + cos − 1 x =
                              x→∞    x     x
                          µ                                           ¶
                              sin x1              1 − cos x1      1             1
                  = lim           1       −           1         ·         =1−     · 0 = 1.
                   x→∞
                                  x                   x2
                                                                  x             2
                  ¡               ¢x
Таким образом, lim sin x1 + cos x1 = e.
                  x→∞
                              ³      x ´ x−π/2
                                           1
                                                                  tg x/2 − 1
4.6.10. Пример. lim               tg           = eA , где A = lim            =
                    x→π/2            2                       x→π/2 x − π/2

                  sin x/2 − cos x/2        cos(π/2 − x/2) − cos x/2
        = lim                       = lim                           =
           x→π/2 (cos x/2)(x − π/2)  x→π/2         x − π/2

                              x − π/2             √       x − π/2    √
                  2(sin π/4) sin                    2 sin               2
         = lim                     2    = lim                 2    =      .
           x→π/2        x − π/2            x→π/2        x − π/2       2
                                                    2·
                                                            2
                       ³ x ´ x−π/2
                               1       √                      2
Таким образом, lim tg               = e 2/2 . lim (1 + x2 )ctg x = {1∞ } = eA , где
                 x→π/2      2                 x→0

A = lim (1 + x2 − 1) ctg2 x =
     x→0
             2
        2 cos x         x2
= lim x      2 == lim 2 · lim cos2 x = 1.
  x→0    sin x    x→0 sin x x→0
                               2
Таким образом, lim (1 + x2 )ctg x = e.
                x→0
                      ¡              ¢x              ¡                   ¢
4.6.11. Пример. lim sin x1 + cos x1 = eA ,где A = lim sin x1 + cos x1 − 1 x =
                    x→∞                                                     x→∞
                          µ                                           ¶
                              sin x1              1 − cos x1      1             1
                  = lim           1       −           1         ·         =1−     · 0 = 1.
                   x→∞
                                  x                   x2
                                                                  x             2
                  ¡               ¢x
Таким образом, lim sin x1 + cos x1 = e.
                  x→∞

                                                           22

Страницы