Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.6.12. Пример. lim
x→π/2
³
tg
x
2
´
1
x−π/ 2
= e
A
, где A = lim
x→π/2
tg x/2 − 1
x − π/2
=
= lim
x→π/2
sin x/2 −cos x/2
(cos x/2)(x − π/2)
= lim
x→π/2
cos(π/2 − x/2) − cos x/2
x − π/2
=
= lim
x→π/2
2(sin π/4) sin
x − π/2
2
x − π/2
= lim
x→π/2
√
2 sin
x − π/2
2
2 ·
x − π/2
2
=
√
2
2
.
Таким образом, lim
x→π/2
³
tg
x
2
´
1
x−π /2
= e
√
2/2
.
4.6.13. Пример. lim
x→0
7
2x
− 5
3x
2x − arctg 3x
= lim
x→0
(7
2x
− 1) − (5
3x
− 1)
2x(1 −
arctg 3x
2x
)
=
= lim
x→0
7
2x
− 1
2x(1 −
3
2
·
arctg 3x
3x
)
− lim
x→0
5
3x
− 1
3x(1 −
3
2
·
arctg 3x
3x
)
·
3
2
=
= lim
x→0
7
2x
− 1
2x
·lim
x→0
1
(1 −
3
2
·
arctg 3x
3x
)
−
3
2
lim
x→0
5
3x
− 1
3x
·lim
x→0
1
µ
1 −
3
2
·
arctg 3x
3x
=
= ln 7 ·
1
1 −
3
2
· 1
−
3
2
ln 5 ·
1
1 −
3
2
· 1
= −2 ln 7 + 3 ln 5 = ln
125
49
.
4.6.14. Пример. lim
x→1
x
2
− 1
ln x
= lim
x→1
(x − 1)(x + 1)
ln(1 + x − 1)
=
= lim
x→1
x − 1
ln(1 + (x − 1))
· lim
x→1
(x + 1) = 1 · 2 = 2.
4.6.14. Пример. lim
x→0
Ã
a
x
2
+ b
x
2
a
x
+ b
x
!
1
x
= {1
∞
} = e
A
,
A = lim
x→0
Ã
a
x
2
+ b
x
2
a
x
+ b
x
− 1
!
1
x
=
(так как a
x
+ b
x
−→ 2 при x → 0)
23
                              ³      x ´ x−π/2
                                           1
                                                                  tg x/2 − 1
4.6.12. Пример. lim               tg           = eA , где A = lim            =
                      x→π/2          2                       x→π/2 x − π/2

                 sin x/2 − cos x/2        cos(π/2 − x/2) − cos x/2
        = lim                      = lim                           =
          x→π/2 (cos x/2)(x − π/2)  x→π/2         x − π/2

                            x − π/2             √       x − π/2   √
                    2(sin π/4) sin                2 sin             2
       = lim                     2     = lim               2    =     .
         x→π/2        x − π/2             x→π/2       x − π/2     2
                                                 2·
                                                         2
                     ³ x ´ x−π/2
                             1       √
Таким образом, lim tg             = e 2/2 .
               x→π/2     2
                        72x − 53x         (72x − 1) − (53x − 1)
4.6.13. Пример. lim                 = lim                         =
                 x→0 2x − arctg 3x    x→0           arctg 3x
                                            2x(1 −           )
                                                       2x
                     72x − 1                    53x − 1           3
         = lim                      − lim                        · =
           x→0        3 arctg 3x      x→0        3 arctg 3x 2
               2x(1 − ·           )       3x(1 − ·             )
                      2      3x                  2      3x

      72x − 1                1          3    53x − 1              1
= lim         · lim                    − lim         · lim µ              ¶=
  x→0   2x      x→0       3 arctg 3x    2 x→0 3x       x→0     3 arctg 3x
                      (1 − ·         )                       1− ·
                          2    3x                              2    3x

                     1    3         1                           125
        = ln 7 ·         − ln 5 ·       = −2 ln 7 + 3 ln 5 = ln     .
                      3   2          3                          49
                   1− ·1          1− ·1
                      2              2
                    x2 − 1       (x − 1)(x + 1)
4.6.14. Пример. lim        = lim                =
                x→1 ln x     x→1 ln(1 + x − 1)

                               x−1
                   = lim                 · lim (x + 1) = 1 · 2 = 2.
                      x→1 ln(1 + (x − 1)) x→1


                           Ã !1   2     2
                    ax + bx x
4.6.14. Пример. lim              = {1∞ } = eA ,
                x→0  ax + bx
                             Ã 2           !
                               x     x2
                              a +b           1
                    A = lim             − 1     =
                         x→0   ax + bx       x

                         (так как ax + bx −→ 2 при x → 0)

                                              23

Страницы