Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
lim
x→0
a
x
2
− a
x
+ b
x
2
− b
x
x
=
1
2
lim
x→0
a
x
(a
x
2
−x
− 1) + b
x
(b
x
2
−x
− 1)
x(x − 1)
· (x − 1) =
= −
1
2
lim
x→0
a
x
2
−x
− 1
x
2
− x
−
1
2
lim
x→0
b
x
2
−x
− 1
x
2
− x
= −
1
2
(ln a + ln b) = −ln
√
ab.
Таким образом, lim
x→0
Ã
a
x
2
+ b
x
2
a
x
+ b
x
!
1
x
= e
−ln
√
ab
=
1
√
ab
.
4.7. УПРАЖНЕНИЯ
4.7.1Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны ответы].
1) lim
x→0
sin 5x
x
[5].
2) lim
x→0
x · ctg 3x [
1
3
].
3) lim
x→0
3x
2
− 5x
sin 3x
[−
5
3
].
4) lim
x→0
sin 7x
x
2
+ πx
[
7
π
].
5) lim
x→0
tg x − sin x
sin
3
x
[
1
2
].
6) lim
x→0
sin 5x − sin 3x
sin x
[2].
7) lim
x→0
cos x − cos 3x
x
2
[4].
8) lim
x→0
1 − cos
3
x
4x
2
[
3
8
].
9) lim
x→π
1 − cos
2
x
(π − x)
2
[1].
10) lim
x→0
sin
2
x − tg
2
x
x
4
[−1].
11) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
[cos a].
12) lim
x→a
tg x − tg a
x − a
[
1
cos
2
a
].
13) lim
x→0
1 −
√
cos x
x sin x
[
1
4
].
14) lim
x→0
2x sin x
1 − cos x
[4].
15) lim
x→0
tg x − sin x
x(1 − cos 2x)
[
1
4
].
16) lim
x→0
√
1 − cos x
2
1 − cos x
[
√
2].
17) lim
x→0
1 −
√
cos x
1 − cos
√
x
[0].
18) lim
x→π
1 − sin(x/2)
π − x
[0].
19) lim
x→1
1 − x
2
sin πx
[
2
π
].
20) lim
x→π
cos 3x − cos x
tg
2
2x
[−1].
21) lim
x→0
√
cos x −
3
√
cos x
sin
2
x
[−
1
12
]. 22) lim
x→0
√
1 + tg x −
√
1 + sin x
x
3
[
1
4
].
24
              2            2                           2                    2
  1     ax − ax + bx − bx  1     ax (ax                    −x
                                                                − 1) + bx (bx   −x
                                                                                     − 1)
 = lim                    = lim                                                             · (x − 1) =
  2 x→0         x          2 x→0                                 x(x − 1)

        1
                     2
             ax −x − 1 1        bx −x − 1
                                            2
                                                 1                  √
    = − lim 2          − lim 2              = − (ln a + ln b) = − ln ab.
        2 x→0 x − x      2 x→0 x − x             2
                   Ã 2        ! 1
                            2
                    ax + bx x              √
                                       − ln ab     1
Таким образом, lim                =  e         =  √    .
               x→0   ax + bx                        ab

                                 4.7. УПРАЖНЕНИЯ

4.7.1Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны ответы].

       sin 5x                                             sin x − sin a
1) lim              [5].                             11) lim                    [cos a].
   x→0   x                                            x→a     x−a
                         1                                tg x − tg a              1
2) lim x · ctg 3x       [ ].                      12) lim                    [ 2 ].
   x→0                   3                            x→a    x−a               cos a
                                                               √
       3x2 − 5x             5                             1 − cos x            1
3) lim                  [− ].                     13) lim                     [ ].
   x→0 sin 3x               3                         x→0    x sin x           4
         sin 7x         7                                  2x sin x
4) lim 2               [ ].                       14) lim                  [4].
   x→0 x + πx           π                             x→0 1 − cos x

       tg x − sin x           1                            tg x − sin x            1
5) lim                      [    ].               15) lim                         [ ].
   x→0     sin3 x             2                       x→0 x(1 − cos 2x)            4
                                                          √
       sin 5x − sin 3x                                      1 − cos x2           √
6) lim                            [2].            16) lim                      [    2].
   x→0        sin x                                   x→0 1 − cos x
       cos x − cos 3x                                          √
7) lim                           [4].                     1 −    cos x
   x→0         x 2                                17) lim          √          [0].
                                                      x→0 1 − cos x
       1 − cos3 x          3                              1 − sin(x/2)
8) lim                   [    ].                  18) lim                        [0].
   x→0     4x2             8                          x→π     π−x
        1 − cos2 x                                        1 − x2         2
9) lim                    [1].                    19) lim               [ ].
   x→π (π − x)2
                                                      x→1 sin πx         π
         sin2 x − tg2 x                                   cos 3x − cos x
10) lim                           [−1].           20) lim                          [−1].
     x→0        x4                                    x→π      tg2 2x
         √            √                               √               √
           cos x − 3 cos x               1              1 + tg x − 1 + sin x              1
21) lim             2                  [− ]. 22) lim                3
                                                                                         [ ].
     x→0        sin x                    12      x→0              x                       4
                                                24

Страницы