Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5) lim
x→0
e
2x
− e
x
x + tg(x
2
)
[1].
6) lim
x→0
2
3x
− 3
2x
x + arcsin( x
3
)
[ln
8
9
].
7) lim
x→0
9
x
− 2
3x
arctg 2x − 7x
[
1
5
ln
8
9
].
8) lim
x→0
e
x
− e
−2x
x + sin(x
2
)
[3].
9) lim
x→0
3
5x
− 2
−7x
2x − tg x
[
1
2
ln(3
5
· 2
7
)].
10) lim
x→0
ln
x
−
ln
a
x − a
[
1
a
].
11) lim
x→1
√
x
2
− x + 1 − 1
ln x
[
1
2
].
12) lim
x→0
ln(x
2
+ 1)
1 −
√
x
2
+ 1
[−2].
13) lim
x→0
ln(1 + sin x)
sin 4x
[
1
4
].
14) lim
x→0
1 − cos 10x
e
x
2
− 1
[50].
15) lim
x→0
a
x
2
− b
x
2
(a
x
− b
x
)
2
[
1
ln
a
b
].
16) lim
x→0
(x + e
x
)
1
x
[e
2
].
17) lim
x→0
µ
1 + x · 2
x
1 + x · 3
x
1
x
2
[
2
3
].
18) lim
x→a
a
a
x
− a
x
a
a
x
− x
a
[a
a
a
ln a].
19) lim
h→0
a
x+h
− a
x−h
− 2a
x
h
2
[a
x
ln
2
a].
20) lim
x→0
µ
a
x
+ b
x
+ c
x
3
1
x
[
3
√
abc].
5. ПЕРЕХОД К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ФУНКЦИЯМ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ.
5.1. Определение. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при
x → a ( пишут f(x) ∼ g(x) ( x → a)), если
lim
x→a
f(x)
g(x)
= 1.
5.2. Теорема. Если f(x) ∼ g(x)(x → a), и существует lim
x→a
g(x)h(x), то
существует lim
x→a
f(x)h(x), и lim
x→a
f(x)h(x) = lim
x→a
g(x)h(x).
5.3. Приведем ряд эквивалентностей, используемых при вычислении преде-
лов.
26
         e2x − ex                                            ln(1 + sin x)              1
5) lim                   [1].                        13) lim                           [ ].
   x→0 x + tg(x2 )                                       x→0    sin 4x                  4
           23x − 32x               8                         1 − cos 10x
6) lim                         [ln   ].              14) lim                         [50].
   x→0 x + arcsin(x3 )             9                     x→0   ex2 − 1
           9x − 23x            1 8
7) lim                        [ ln ].                              2
                                                              ax − bx
                                                                         2
                                                                                       1
   x→0 arctg 2x − 7x           5 9                   15) lim x                   [
                                                         x→0 (a − bx )2                 a ].
          x
         e −e   −2x                                                                  ln
8) lim                    [3].                                                           b
   x→0 x + sin(x2 )
                                                                       1
       35x − 2−7x 1
9) lim                [ ln(35 · 27 )].               16) lim (x + ex ) x          [e2 ].
   x→0 2x − tg x       2                                 x→0
         ln x − ln a       1
10) lim                   [ ].
     x→0    x−a            a                                   µ             x
                                                                              ¶1
         √                                                         1 + x · 2 x2                2
             2
            x −x+1−1                 1               17) lim                                  [ ].
11) lim                            [ ].                  x→0       1 + x · 3x                  3
     x→1         ln x                2
               2                                                   x     a
          ln(x + 1)                                         aa − ax
12) lim       √               [−2].                  18) lim x
                                                                                      a
                                                                                 [aa ln a].
     x→0 1 −    x2 + 1                                   x→a a − xa

        ax+h − ax−h − 2ax
19) lim           2
                           [ax ln2 a].
    h→0         h
        µ x           ¶1
                x
          a +b +c x x      √
20) lim                   [ 3 abc].
    x→0        3
          5. ПЕРЕХОД К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ФУНКЦИЯМ
                     ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ.


5.1. Определение. Функции f (x) и g(x) называются эквивалентными при
x → a ( пишут f (x) ∼ g(x) ( x → a)), если
                                              f (x)
                                          lim       = 1.
                                          x→a g(x)


5.2. Теорема. Если f (x) ∼ g(x)(x → a), и существует lim g(x)h(x), то
                                                                                 x→a
существует lim f (x)h(x), и lim f (x)h(x) = lim g(x)h(x).
              x→a                 x→a                    x→a

5.3. Приведем ряд эквивалентностей, используемых при вычислении преде-
лов.


                                                26

Страницы