Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.5. УПРАЖНЕНИЯ
5.5.1 Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны отве-
ты].
1) lim
x→0
ln(tg(
π
4
+ ax))
sin bx
[
2a
b
].
2) lim
x→π/2
ln(sin x)
(2x − π)
2
[−
1
8
].
3) lim
x→1
3
p
1 + ln
2
x − 1
1 + cos( πx)
[
2
3π
2
].
4) lim
x→1
sin
2
(π2
x
)
ln(cos(π2
x
))
[−2].
5) lim
x→π
(x
3
− π
3
) sin(5x)
e
sin
2
x
− 1
[−15π
2
].
6) lim
x→a
a
x
2
−a
2
− 1
tg(ln(
x
a
)
[2a
2
ln a].
7) lim
x→π
ln(cos 2x)
ln(cos 4x)
[−
1
4
].
8) lim
x→0
e
x
− e
−x
tg 2x − sin x
[2].
9) lim
x→−2
arcsin(
x + 2
2
)
3
√
2+x+x
2
− 9
[−
2
27
ln 3].
10) lim
x→2π
ln(cos x)
3
sin 2x
− 1
[0].
11) lim
x→−2
tg(e
x+2
− e
x
2
−4
)
tg x + tg 2
[
5
cos
2
2
].
12) lim
x→π
ln(2 + cos x)
(3
sin x
− 1)
2
[
1
2 ln
2
3
].
13) lim
x→−1
tg(x + 1)
e
3
√
x
3
−4x
2
+6
− e
[
3
11e
].
14) lim
x→π
tg(3
π/x
− 3)
3
cos(3x/2)
− 1
[−
2
π
].
15) lim
x→3
ln(2x − 5)
e
sin πx
− 1
[−
2
π
].
16) lim
x→π/2
e
sin 2x
− e
tg 2x
ln
2x
π
[−2π].
17) lim
x→0
e
αx
− e
βx
sin(αx) − sin(βx)
[1].
18) lim
x→0
a
x
2
− b
x
2
(a
x
− b
x
)
2
[
1
ln
a
b
].
19) lim
x→0
ln(1 + xe
x
)
ln(x +
√
1 + x
2
)
[1].
20) lim
x→0
cos(xe
x
) − cos( xe
−x
)
x
3
[−2].
21) lim
h→0
arctg(x + h) − arctg x
h
[
1
1 + x
2
].
22) lim
x→0
ln
1 + x
1 − x
arctg(1 + x) − arctg(1 − x)
[2].
28
                                  5.5. УПРАЖНЕНИЯ

5.5.1 Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны отве-
ты].

              π                                                 tg(ex+2 − ex −4 )
                                                                                         2
                                                                                         5
       ln(tg( + ax))         2a                        11) lim                        [ 2 ].
1) lim        4             [ ].                           x→−2    tg x + tg 2         cos 2
   x→0      sin bx             b
          ln(sin x)        1                                   ln(2 + cos x)           1
2) lim                  [−   ].                        12) lim sin x              [         ].
   x→π/2 (2x − π)2         8                               x→π (3     − 1)2         2 ln2 3
       p                                                          tg(x + 1)                                 3
          1 + ln2 x − 1
        3
                                2                      13) lim    √                                    [       ].
3) lim                      [ 2 ].                                3
                                                           x→−1 e x3 −4x2 +6 − e                           11e
   x→1 1 + cos(πx)            3π
                                                               tg(3π/x − 3)             2
         sin2 (π2x )                                   14) lim cos(3x/2)            [− ].
4) lim                        [−2].                        x→π 3           −1           π
   x→1 ln(cos(π2x ))
                                                               ln(2x − 5)            2
        (x3 − π 3 ) sin(5x)                            15) lim sin πx             [− ].
5) lim         sin 2
                     x
                                     [−15π 2 ].            x→3 e        −1           π
   x→π        e        −1
           2    2                                                esin 2x − etg 2x
       ax −a − 1                                       16) lim
                                                                          2x
                                                                                       [−2π].
6) lim            x         [2a2 ln a].                    x→π/2
                                                                       ln
   x→a
         tg(ln( )                                                         π
                  a
        ln(cos 2x)             1                                    e − eβx
                                                                      αx

7) lim                      [− ].                      17) lim                            [1].
                                                           x→0 sin(αx) − sin(βx)
   x→π ln(cos 4x)              4
                                                                   2          2
           ex − e−x                                             ax − bx                            1
8) lim                         [2].                    18) lim x                             [      a ].
   x→0 tg 2x − sin x                                       x→0 (a − bx )2
                                                                                                 ln
                     x+2                                                                             b
          arcsin(          )          2                           ln(1 + xex )
9) lim √                 2         [− ln 3].           19) lim         √                                   [1].
   x→−2 3 2+x+x − 9    2
                                      27                   x→0 ln(x +    1 + x2 )
            ln(cos x)                                          cos(xex ) − cos(xe−x )
10) lim sin 2x                [0].                     20) lim                                                [−2].
     x→2π 3          −1                                    x→0           x3


                               arctg(x + h) − arctg x                        1
                       21) lim                                         [          ].
                           h→0           h                                 1 + x2

                                           1+x
                                             ln
                       22) lim             1−x                                    [2].
                           x→0 arctg(1 + x) − arctg(1 − x)




                                                  28

Страницы