Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(f(x) + g(x))
0
= f
0
(x) + g
0
(x);
(f(x)g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f(x)g
0
(x);
µ
f(x)
g(x)
0
=
f
0
(x)g(x) − f(x)g
0
(x)
g
2
(x)
.
6.3.2. Производная сложной функции. Если функция g дифференцируема в
точке x, функция f дифференцируема в точке g(x), то
(f(g(x)))
0
= f
0
(g(x))g
0
(x).
6.3.3. Производная функции вида f(x)
g(x)
. По свойствам 6.3.1.и 6.3.2. если
функции f и g дифференцируемы в точке x и f(x) > 0, то
³
f(x)
g(x)
´
0
=
³
e
g(x) ln f(x)
´
0
= f(x)
g(x)
µ
g
0
(x) ln(f(x)) +
f
0
(x)g(x)
f(x)
.
При дифференцировании функции, заданной фигурной скобкой, пользуются
следующим свойством производной.
6.4. Пусть
f
0
−
(x) = lim
h→0−
f(x + h) − f(x)
h
, f
0
+
(x) = lim
h→0+
f(x + h) − f(x)
h
(эти пределы называются соответственно левой и правой производной функ-
ции f в точке x.) Функция f в точке x дифференцируема тогда и только
тогда, когда
f
0
−
(x) = f
0
+
(x) = f
0
(x).
6.5. Примеры.
6.5.1. Найти f
0
(1), если f(x) = (x − 1)(x − 2)
2
(x − 3)
3
.
5 Найдем f
0
(1) с помощью определения.
f
0
(1) = lim
h→0
f(1 + h) − f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h − 1)(1 + h − 2)
2
(1 + h − 3)
3
− 0
h
=
= lim
h→0
h(h − 1)
2
(h − 2)
3
h
= (−1)
2
(−2)
3
= −8.¤
30
                           (f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x);

                        (f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x);
                         µ        ¶0
                            f (x)      f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
                                     =                            .
                            g(x)                 g 2 (x)
6.3.2. Производная сложной функции. Если функция g дифференцируема в
точке x, функция f дифференцируема в точке g(x), то

                             (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x).

6.3.3. Производная функции вида f (x)g(x) . По свойствам 6.3.1.и 6.3.2. если
функции f и g дифференцируемы в точке x и f (x) > 0, то
    ³          ´0 ³             ´0          µ                      0
                                                                             ¶
                                                                 f   (x)g(x)
      f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) = f (x)g(x) g 0 (x) ln(f (x)) +               .
                                                                      f (x)

При дифференцировании функции, заданной фигурной скобкой, пользуются
следующим свойством производной.

6.4. Пусть
                      f (x + h) − f (x)                       f (x + h) − f (x)
        f−0 (x) = lim                   ,        f+0 (x) = lim
                 h→0−         h                          h→0+         h
(эти пределы называются соответственно левой и правой производной функ-
ции f в точке x.) Функция f в точке x дифференцируема тогда и только
тогда, когда
                               f−0 (x) = f+0 (x) = f 0 (x).


                                   6.5. Примеры.

6.5.1. Найти f 0 (1), если f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 .
5 Найдем f 0 (1) с помощью определения.

  0          f (1 + h) − f (1)       (1 + h − 1)(1 + h − 2)2 (1 + h − 3)3 − 0
 f (1) = lim                   = lim                                          =
         h→0         h           h→0                    h
                       h(h − 1)2 (h − 2)3
                 = lim                    = (−1)2 (−2)3 = −8.¤
                   h→0         h
                                            30

Страницы