Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5 Во всех точках числовой прямой, за исключением точек x = 1 и x = 2,
производная вычисляется по основным правилам и
f
0
(x) =
−1 при − ∞ < x < 1,
−3 + 2x при 1 < x < 2,
1, при 2 < x < +∞.
Посчитаем f
0
(1) и f
0
(2). Вначале, в точках x = 1 и x = 2 найдем левые и
правые производные f
0
−
(1), f
0
+
(1) и f
0
−
(2), f
0
+
(2) :
f
0
−
(1) = lim
h→0−
(1 − (1 + h)) − 0
h
= lim
h→0−
−h
h
= −1,
f
0
+
(1) = lim
h→0+
(1 − (1 + h))(2 − (1 + h)) − 0
h
= lim
h→0+
−h(1 − h)
h
= −1.
Так как f
0
−
(1) = f
0
+
(1), то
f
0
(1) = f
0
−
(1) = f
0
+
(1) = −1.
Аналогично
f
0
−
(2) = lim
h→0−
(1 − (2 + h))(2 − (2 + h)) − 0
h
= lim
h→0−
(−1 − h)(−h)
h
= 1,
f
0
+
(2) = lim
h→0+
−(2 − (2 + h)) − 0
h
= lim
h→0+
h
h
= 1.
Значит f
0
(2) = 1.¤
6.5.6. Найти f
0
(x), если f(x) =| x |.
5 Во всех точках числовой прямой, за исключением точки x = 0 производ-
ная вычисляется по основным правилам и
f
0
(x) =
(
−1 при − ∞ < x < 0,
1, при 0 < x < +∞.
Найдем f
0
−
(0), f
0
+
(0).
f
0
−
(0) = lim
h→0−
| h | −0
h
= lim
h→0−
−h
h
= −1,
f
0
+
(0) = lim
h→0+
| h | −0
h
= lim
h→0+
h
h
= 1.
32
5 Во всех точках числовой прямой, за исключением точек x = 1 и x = 2,
производная вычисляется по основным правилам и
                          
                          
                           −1
                                   при − ∞ < x < 1,
                f 0 (x) =   −3 + 2x при 1 < x < 2,
                          
                          
                           1,      при 2 < x < +∞.

Посчитаем f 0 (1) и f 0 (2). Вначале, в точках x = 1 и x = 2 найдем левые и
правые производные f−0 (1), f+0 (1) и f−0 (2), f+0 (2) :

                              (1 − (1 + h)) − 0       −h
                f−0 (1) = lim                   = lim     = −1,
                         h→0−         h           h→0− h
                   (1 − (1 + h))(2 − (1 + h)) − 0        −h(1 − h)
    f+0 (1) = lim                                 = lim            = −1.
              h→0+                h                 h→0+     h
Так как f−0 (1) = f+0 (1), то

                            f 0 (1) = f−0 (1) = f+0 (1) = −1.

Аналогично
                  (1 − (2 + h))(2 − (2 + h)) − 0       (−1 − h)(−h)
    f−0 (2) = lim                                = lim              = 1,
             h→0−               h                 h→0−      h
                                −(2 − (2 + h)) − 0       h
                 f+0 (2) = lim                     = lim = 1.
                           h→0+         h           h→0+ h
Значит f 0 (2) = 1.¤

6.5.6. Найти f 0 (x), если f (x) =| x |.
5 Во всех точках числовой прямой, за исключением точки x = 0 производ-
ная вычисляется по основным правилам и
                              (
                                −1 при − ∞ < x < 0,
                    f 0 (x) =
                                1, при 0 < x < +∞.

Найдем f−0 (0), f+0 (0).

                                    | h | −0        −h
                     f−0 (0) = lim           = lim      = −1,
                               h→0−     h      h→0− h
                                      | h | −0        h
                       f+0 (0) = lim           = lim = 1.
                                 h→0+     h      h→0+ h

                                           32

Страницы