Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.5.2. Найти f
0
(x), если f(x) =
q
x +
p
x +
√
x.
5 По формуле производной сложной функции
f
0
(x) =
1
2
µ
x +
q
x +
√
x
1
2
−1
µ
x +
q
x +
√
x
0
=
=
1
2
µ
x +
q
x +
√
x
−
1
2
µ
1 +
1
2
¡
x +
√
x
¢
1
2
−1
¡
x +
√
x
¢
0
=
=
1
2
µ
x +
q
x +
√
x
−
1
2
µ
1 +
1
2
¡
x +
√
x
¢
−
1
2
µ
1 +
1
2
√
x
¶¶
.¤
6.5.3. Найти f
0
(x), если f(x) = cos x ln tg
¡
x
2
¢
.
5 По формулам производной произведения и производной сложной функции
f
0
(x) = cos
0
x ln tg
x
2
+ cos x
³
ln tg
x
2
´
0
= −sin x ln tg
x
2
+
cos x
tg
x
2
³
tg
x
2
´
0
=
= −sin x ln tg
x
2
+
cos x
tg
x
2
1
cos
2
x
2
³
x
2
´
0
= −sin x ln tg
x
2
+
cos x
tg
x
2
cos
2
x
2
1
2
=
= −sin x ln tg
x
2
+
cos x
2 tg
x
2
cos
2
x
2
.¤
6.5.4. Найти f
0
(x), если f(x) = (arccos x)
x
.
5 Запишем функцию в следующем виде f(x) = e
ln(arccos x)
x
= e
x ln arccos x
.
Теперь по формуле производной сложной функции
f
0
(x) = e
x ln arccos x
(x ln arccos x)
0
=
= (arccos x)
x
³
ln arccos x +
x
arccos x
(arccos x)
0
´
=
= (arccos x)
x
µ
ln arccos x +
x
arccos x
µ
−
1
√
1 − x
2
¶¶
=
= (arccos x)
x
µ
ln arccos x −
x
√
1 − x
2
arccos x
.
Также можно было использовать формулу 6.3.3.¤
6.5.5. Найти f
0
(x), если
f(x) =
1 − x при − ∞ < x < 1,
(1 − x)(2 − x) при 1 ≤ x ≤ 2,
−(2 − x), при 2 < x + ∞.
31
                                    q        p
                0
                                                      √
6.5.2. Найти f (x), если f (x) =        x+       x+       x.
5 По формуле производной сложной функции
                         µ     q          ¶1 µ      q           ¶
              0        1             √ 2 −1                   √ 0
             f (x) =       x+ x+ x               x+ x+ x =
                       2
             µ       q         ¶ 1µ                                  ¶
           1               √ −2           1¡      √ ¢ 21 −1 ¡   √ ¢0
         =      x+ x+ x              1+       x+ x           x+ x      =
           2                              2
            µ       q         ¶ 1µ                        µ        ¶¶
          1               √ −2           1¡      √ ¢− 21        1
        =     x+ x+ x               1+       x+ x           1+ √       .¤
          2                              2                     2 x
                                              ¡ ¢
6.5.3. Найти f 0 (x), если f (x) = cos x ln tg x2 .
5 По формулам производной произведения и производной сложной функции
                      x         ³     x ´0                  x cos x ³ x ´0
   0          0
  f (x) = cos x ln tg + cos x ln tg        = − sin x ln tg +          tg       =
                      2                2                    2   tg x2      2
                    x cos x 1 ³ x ´0                       x     cos x 1
     = − sin x ln tg +                     = − sin x ln tg    +              =
                    2   tg x2 cos2 x2 2                    2 tg x2 cos2 x2 2
                                      x        cos x
                       = − sin x ln tg +                 .¤
                                      2 2 tg x2 cos2 x2
6.5.4. Найти f 0 (x), если f (x) = (arccos x)x .
                                                                     x
5 Запишем функцию в следующем виде f (x) = eln(arccos x) = ex ln arccos x .
Теперь по формуле производной сложной функции

                   f 0 (x) = ex ln arccos x (x ln arccos x)0 =
                           ³                       x                ´
                         x                                        0
           = (arccos x) ln arccos x +                   (arccos x) =
                        µ                     arccos  x
                                                      µ             ¶¶
                                                x             1
         = (arccos x)x ln arccos x +                    −√              =
                                            arccos x        1 − x2
                            µ                                       ¶
                                                         x
             = (arccos x)x ln arccos x − √                            .
                                                   1 − x2 arccos x
Также можно было использовать формулу 6.3.3.¤
6.5.5. Найти f 0 (x), если
                         
                         
                          1−x
                                         при − ∞ < x < 1,
                 f (x) =   (1 − x)(2 − x) при 1 ≤ x ≤ 2,
                         
                         
                          −(2 − x),      при 2 < x + ∞.

                                          31

Страницы