Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
6. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
6.1. Определение производной. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки x. Функция f называется дифференцируемой в точке x,
если существует
lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
Этот предел называется производной f в точке x и обозначается f
0
(x).
Функция называется дифференцируемой на интервале, если она дифферен-
цируема в каждой точке этого интервала.
На практике производную функции чаще вычисляют с помощью основных
правил дифференцирования, используя уже известные производные элемен-
тарных функций.
6.2. Производные элементарных функций.
(x
n
)
0
= nx
n−1
(n— константа), (sin x)
0
= cos x, (cos x)
0
= −sin x,
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
, (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
,
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
, (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
,
(arctg x)
0
=
1
1 + x
2
, (arcctg x)
0
= −
1
1 + x
2
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a, (e
x
)
0
= e
x
, (log
a
x)
0
=
1
x ln a
, (ln x)
0
=
1
x
(sh x)
0
= ch x, (ch x)
0
= sh x, (th x)
0
=
1
ch
2
x
, (cth x)
0
= −
1
sh
2
x
.
6.3. Основные правила дифференцирования.
6.3.1. Производные суммы, произведения и частного. Если функции f и g
дифференцируемы в точке x и C —константа, то
(Cf(x))
0
= Cf
0
(x);
29
           II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
                  ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


              6. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ

6.1. Определение производной. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки x. Функция f называется дифференцируемой в точке x,
если существует
                             f (x + h) − f (x)
                             lim               .
                         h→0         h
Этот предел называется производной f в точке x и обозначается f 0 (x).
Функция называется дифференцируемой на интервале, если она дифферен-
цируема в каждой точке этого интервала.
На практике производную функции чаще вычисляют с помощью основных
правил дифференцирования, используя уже известные производные элемен-
тарных функций.
6.2. Производные элементарных функций.

    (xn )0 = nxn−1 (n— константа),        (sin x)0 = cos x,   (cos x)0 = − sin x,
                                  1                         1
                     (tg x)0 =         ,  (ctg x)0
                                                   =   −        ,
                                cos2 x                   sin2 x
                                 1                                1
               (arcsin x)0 = √          , (arccos x)0 = − √           ,
                               1 − x2                          1 − x2
                                  1                             1
                 (arctg x)0 =          ,  (arcctg  x)0
                                                       =  −         ,
                               1 + x2                        1 + x2
                                                          1               1
        (ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex , (loga x)0 =           , (ln x)0 =
                                                       x ln a             x
                                                      1                     1
    (sh x)0 = ch x, (ch x)0 = sh x, (th x)0 = 2 , (cth x)0 = − 2 .
                                                    ch x                  sh x
6.3. Основные правила дифференцирования.
6.3.1. Производные суммы, произведения и частного. Если функции f и g
дифференцируемы в точке x и C —константа, то

                                 (Cf (x))0 = Cf 0 (x);

                                          29

Страницы