Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

sin x ∼ x (x → 0),
arcsin x ∼ x (x → 0),
tg x ∼ x (x → 0),
arctg x ∼ x (x → 0),
1 − cos x ∼
1
2
x
2
(x → 0),
ln(1 + x) ∼ x (x → 0),
a
x
− 1 ∼ x ln a (x → 0),
e
x
− 1 ∼ x (x → 0),
(1 + x)
µ
∼ µx (x → 0),
n
√
1 + x − 1 ∼
1
n
x (x → 0).
5.4. Примеры.
5.4.1. Пример. lim
x→π
sin
µ
x
2
π
2
√
sin x+1
− 2
= lim
x→π
sin
µ
π −
x
2
π
2(2
√
sin x+1−1
− 1)
=
= lim
x→π
π −
x
2
π
2(
√
sin x + 1 − 1) ln 2
= lim
x→π
π
2
− x
2
2π ·
1
2
sin x · ln 2
=
= lim
x→π
(π − x)(π + x)
π sin(π − x) · ln 2
=
2
ln 2
.
(Здесь мы применили следующие эквивалентности:
sin(π −
x
2
π
) ∼ π −
x
2
π
(так как π −
x
2
π
→ 0 при x → π),
2
√
sin x+1−1
− 1 ∼ (
√
sin x + 1 − 1) ln 2 (так как
√
sin x + 1 − 1 → 0
при x → π),
√
sin x + 1 − 1 ∼
1
2
sin x (так как sin x → 0 при x → π).)
5.4.2. Пример. lim
x→2
tg(ln(3x − 5))
e
x+3
− e
x
2
+1
= lim
x→2
ln(3x − 5)
e
x
2
+1
(e
x+3−x
2
−1
− 1)
=
=
1
e
5
lim
x→2
ln(1 + (3x − 6))
x − x
2
+ 2
= −
1
e
5
lim
x→2
3x − 6
(x − 2)(x + 1)
=
= −
3
e
5
lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 1)
=
1
e
5
.
(Здесь мы применили следующие эквивалентности:
tg(ln(3x − 5)) ∼ ln(3x − 5) (так как ln(3x − 5) → 0 при x → 2),
e
x−x
2
+2
− 1 ∼ x − x
2
+ 2 (так как x − x
2
+ 2 → 0 при x → 2),
ln(1 + (3x − 6)) ∼ 3x − 6 (так как 3x − 6 → 0 при x → 2).)
27
sin x ∼ x (x → 0),                               ln(1 + x) ∼ x (x → 0),
arcsin x ∼ x (x → 0),                            ax − 1 ∼ x ln a (x → 0),
tg x ∼ x (x → 0),                                ex − 1 ∼ x (x → 0),
arctg x ∼ x (x → 0),                             (1 + x)µ ∼ µx (x → 0),
           1                                     √             1
1 − cos x ∼ x2 (x → 0),                           n
                                                    1 + x − 1 ∼ x (x → 0).
           2                                                   n

                             5.4. Примеры.
                             ¶  µ         µ        ¶
                          x2                    x2
                     sin              sin π −
                          π                     π
5.4.1. Пример. lim √sin x+1     = lim   √              =
               x→π 2        − 2 x→π 2(2 sin x+1−1 − 1)
                               x2
                           π−                          π 2 − x2
             = lim √            π          = lim                     =
                x→π 2( sin x + 1 − 1) ln 2    x→π       1
                                                   2π · sin x · ln 2
                                                        2
                                (π − x)(π + x)         2
                        = lim                      =       .
                           x→π π sin(π − x) · ln 2    ln 2
(Здесь мы применили следующие эквивалентности:
         x2         x2                x2
sin(π − ) ∼ π −        (так как π −      → 0 при x → π),
 √        π        √π                  π           √
2 sin x+1−1 − 1 ∼ ( sin x + 1 − 1) ln 2 (так как sin x + 1 − 1 → 0
при x → π),
√                1
  sin x + 1 − 1 ∼ sin x (так как sin x → 0 при x → π).)
                 2
                    tg(ln(3x − 5))             ln(3x − 5)
5.4.2. Пример. lim x+3        x2 +1 = lim x2 +1 x+3−x2 −1      =
                 x→2 e    −e          x→2 e    (e         − 1)
                     1      ln(1 + (3x − 6))     1          3x − 6
                 =      lim                  = −    lim                =
                     e5 x→2 x − x2 + 2           e5 x→2 (x − 2)(x + 1)

                         3          x−2         1
                             =−
                            lim               =   .
                         e5 x→2 (x − 2)(x + 1) e5
(Здесь мы применили следующие эквивалентности:
tg(ln(3x − 5)) ∼ ln(3x − 5) (так как ln(3x − 5) → 0 при x → 2),
    2
ex−x    +2
             − 1 ∼ x − x2 + 2 (так как x − x2 + 2 → 0 при x → 2),
ln(1 + (3x − 6)) ∼ 3x − 6 (так как 3x − 6 → 0 при x → 2).)

                                            27

Страницы