Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Определение предела. Число a называется пределом последователь-
ности x
n
(обозначается lim
n→∞
x
n
= a или x
n
−→ a), если
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|x
n
− a| < ε).
1.2. Теорема о двух милиционерах.
Если z
n
≤ x
n
≤ y
n
и lim
n→∞
z
n
= lim
n→∞
y
n
= a, то lim
n→∞
x
n
= a.
1.3. Критерий Коши
Последовательность x
n
сходится тогда и только тогда, когда
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N (|x
n+p
− x
n
| < ε).
1.4. Монотонные последовательности. Теорема. Всякая монотонная
ограниченная последовательность сходится.
Замечание. Так как всякая возрастающая (убывающая) последовательность
x
n
ограничена снизу (сверху) числом x
1
, при применении теоремы к возрас-
тающей (убывающей) последовательности достаточно проверить ее ограни-
ченность сверху (снизу).
1.5. Примеры.
1.5.1. Пример. lim
n→∞
q
n
= 0, если |q| < 1.
5 Докажем с помощью определения. Имеем |q| < 1 =⇒
1
|q|
> 1 =⇒
1
|q|
=
1 + δ , где δ =
1
|q|
− 1 > 0. Тогда, пользуясь формулой бинома Ньютона,
получим
µ
1
|q|
n
= (1 + δ)
n
= 1 + nδ + ... > nδ,
5
                        I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.


              1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1. Определение предела. Число a называется пределом последователь-
ности xn (обозначается lim xn = a или xn −→ a), если
                           n→∞


                    ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|xn − a| < ε).

1.2. Теорема о двух милиционерах.
Если zn ≤ xn ≤ yn и lim zn = lim yn = a, то lim xn = a.
                     n→∞         n→∞         n→∞

1.3. Критерий Коши
Последовательность xn сходится тогда и только тогда, когда


             ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N (|xn+p − xn | < ε).

1.4. Монотонные последовательности. Теорема. Всякая монотонная
ограниченная последовательность сходится.
Замечание. Так как всякая возрастающая (убывающая) последовательность
xn ограничена снизу (сверху) числом x1 , при применении теоремы к возрас-
тающей (убывающей) последовательности достаточно проверить ее ограни-
ченность сверху (снизу).

                                 1.5. Примеры.

1.5.1. Пример. lim q n = 0, если |q| < 1.
                  n→∞
                                                            1          1
5 Докажем с помощью определения. Имеем |q| < 1 =⇒              > 1 =⇒     =
                                                           |q|        |q|
                   1
1 + δ , где δ =       − 1 > 0. Тогда, пользуясь формулой бинома Ньютона,
                  |q|
получим               µ ¶n
                        1
                            = (1 + δ)n = 1 + nδ + ... > nδ,
                       |q|



                                       5

Страницы