Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5.5. Пример. lim
n→∞
n
a
n
= 0 (a > 1).
5 Воспользовавшись выкладкой предыдущего примера, получим
a
n
= (1 + a − 1)
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1)
2
≥
n
2
4
(a − 1)
2
(n ≥ 2),
откуда следует, что 0 <
n
a
n
≤
4
n(a − 1)
2
и, следовательно, по теореме "о двух
милиционерах"
n
a
n
−→ 0. ¤
1.5.6. Пример. lim
n→∞
n
k
a
n
= 0 (k ∈ N, a > 1).
5 Следует из примера 1.5.5.:
0 <
n
k
a
n
= (
n
(
k
√
a)
n
)
k
−→ 0.¤
1.5.7. Пример.
x
n
=
sin 1
2
+
sin 2
2
2
+ ... +
sin n
2
n
.
5 Применим критерий Коши для доказательства сходимости данной после-
довательности. Пусть ε > 0 и p ∈ N—произвольны. Тогда
|x
n+p
− x
n
| =
¯
¯
¯
¯
sin 1
2
+
sin 2
2
2
+ ...
sin n
2
n
+
sin(n + 1)
2
n+1
+ ...
sin(n + p)
2
n+p
−
sin 1
2
−
sin 2
2
2
− ...
sin n
2
n
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
sin(n + 1)
2
n+1
+ ... +
sin(n + p)
2
n+p
¯
¯
¯
¯
≤
¯
¯
¯
¯
sin(n + 1)
2
n+1
¯
¯
¯
¯
+ ... +
¯
¯
¯
¯
sin(n + p)
2
n+p
¯
¯
¯
¯
≤
≤
1
2
n+1
+ ... +
1
2
n+p
=
1
2
n+1
µ
1 −
1
2
p
1 −
1
2
<
1
2
n
< ε при n > N = [log
2
1
ε
] + 1.
(Во втором равенстве мы воспользовались формулой суммы p членов гео-
метрической прогрессии). ¤
7
                   n
1.5.5. Пример. lim   =0     (a > 1).
              n→∞ an
5 Воспользовавшись выкладкой предыдущего примера, получим

           n               n(n − 1)
                                 n           n2
         a = (1 + a − 1) >          (a − 1) ≥ (a − 1)2
                                           2
                                                                              (n ≥ 2),
                              2              4
                         n       4
откуда следует, что 0 < n ≤            и, следовательно, по теореме "о двух
                         a   n(a − 1)2
                 n
милиционерах" n −→ 0. ¤
                a
                      nk
1.5.6. Пример. lim n = 0        (k ∈ N, a > 1).
                 n→∞ a
5 Следует из примера 1.5.5.:
                                          nk        n k
                                     0<      = (  √      ) −→ 0.¤
                                          an     ( k a)n


1.5.7. Пример.
      sin 1 sin 2     sin n
xn =       + 2 + ... + n .
        2    2         2
5 Применим критерий Коши для доказательства сходимости данной после-
довательности. Пусть ε > 0 и p ∈ N—произвольны. Тогда

                                              |xn+p − xn | =
¯                                                                                             ¯
¯ sin 1 sin 2            sin n    sin(n + 1)       sin(n + p)    sin  1    sin  2       sin n ¯
¯       +         +  ...        +            + ...            −         −         − ...       ¯=
¯ 2           22          2n         2n+1             2n+p         2         22          2n ¯
          ¯                                  ¯ ¯              ¯         ¯             ¯
          ¯ sin(n + 1)            sin(n + p) ¯ ¯ sin(n + 1) ¯           ¯ sin(n + p) ¯
       = ¯¯      n+1
                          + ... +     n+p
                                             ¯≤¯
                                             ¯   ¯     n+1
                                                              ¯ + ... + ¯
                                                              ¯         ¯      n+p
                                                                                      ¯≤
                                                                                      ¯
               2                     2                2                      2

                                          µ        ¶
                                     1      1
                                        1 −
       1                  1       2n+1      2p              1                       1
  ≤            + ... +          =                       <      < ε при n > N = [log2 ] + 1.
      2n+1               2n+p             1                 2n                      ε
                                       1−
                                          2
(Во втором равенстве мы воспользовались формулой суммы p членов гео-
метрической прогрессии). ¤



                                                    7

Страницы