Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7)x
n
=
3n − 2
2n − 1
, a =
3
2
.
8)x
n
=
7n + 4
2n + 1
, a =
7
2
.
9)x
n
=
7n − 1
n + 1
, a = 7.
10)x
n
=
9 − n
3
1 + 2n
3
, a = −
1
2
.
11)x
n
=
1 − 2n
2
2 + 4n
2
, a = −
1
2
.
12)x
n
=
n + 1
1 − 2n
, a = −
1
2
.
13)x
n
=
4n − 1
2n + 1
, a = 2.
14)x
n
=
2n − 5
3n + 1
, a =
2
3
.
15)x
n
=
4n
2
+ 1
3n
2
+ 2
, a =
4
3
.
16)x
n
=
4n − 3
2n + 1
, a = 2.
17)x
n
=
2n + 1
3n − 5
, a =
2
3
.
18)x
n
=
3n
2
+ 2
4n
2
− 1
, a =
3
4
.
19)x
n
=
5n + 15
6 − n
, a = −5.
20)x
n
=
2 − 3n
2
4 + 5n
2
, a = −
3
5
.
1.6.2. С помощью критерия Коши доказать сходимость следующих последо-
вательностей.
1)x
n
= a
0
+ a
1
q + ... + a
n
q
n
, где |a
k
| < M (k = 0, 1, ...), |q| < 1.
2)x
n
=
cos(1!)
1 · 2
+
cos(2!)
2 · 3
+ ... +
cos(n!)
n(n + 1)
.
3)x
n
= 1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ ... +
1
n
2
.
Указание. Воспользоваться неравенством
1
(n + 1)
2
<
1
n
−
1
n + 1
для n ∈ N.
1.6.3. Пользуясь теоремой о монотонной ограниченной последовательности
доказать сходимость следующих последовательностей.
1)x
n
= p
0
+
p
1
10
+ ... +
p
n
10
n
, где p
i
— целые неотрицательные числа, не превы-
шающие 9, начиная с p
1
.
2)x
n
= (1 −
1
2
)(1 −
1
4
)...(1 −
1
2
n
).
3)x
n
= (1 +
1
2
)(1 +
1
4
)...(1 +
1
2
n
).
9
       3n − 2       3                                  2n − 5        2
7)xn =        , a= .                         14)xn =          , a= .
       2n − 1       2                                  3n + 1        3
       7n + 4       7                                  4n2 + 1        4
8)xn =        , a= .                         15)xn =            , a =     .
       2n + 1       2                                  3n2 + 2        3
       7n − 1                                          4n − 3
9)xn =        , a = 7.                       16)xn =          , a = 2.
        n+1                                            2n + 1
         9 − n3          1                             2n + 1        2
10)xn =         , a =  −   .                 17)xn =          , a= .
        1 + 2n3          2                             3n − 5        3
                                                         2
        1 − 2n2          1                             3n + 2         3
11)xn =         , a =  −   .                 18)xn =            , a =   .
        2 + 4n2          2                             4n2 − 1        4
         n+1            1                              5n + 15
12)xn =        , a=− .                       19)xn =            , a = −5.
        1 − 2n          2                               6−n
        4n − 1                                         2 − 3n2           3
13)xn =        , a = 2.                      20)xn =          2
                                                                , a=− .
        2n + 1                                         4 + 5n            5

1.6.2. С помощью критерия Коши доказать сходимость следующих последо-
вательностей.

1)xn = a0 + a1 q + ... + an qn , где |ak | < M (k = 0, 1, ...), |q| < 1.
        cos(1!) cos(2!)             cos(n!)
2)xn =          +          + ... +           .
         1·2        2·3            n(n + 1)
            1     1           1
3)xn = 1 + 2 + 2 + ... + 2 .
            2     3          n
                                                  1          1       1
Указание. Воспользоваться неравенством                   <      −        для n ∈ N.
                                               (n + 1)2      n n+1
1.6.3. Пользуясь теоремой о монотонной ограниченной последовательности
доказать сходимость следующих последовательностей.
            p1         pn
1)xn = p0 +    + ... + n , где pi — целые неотрицательные числа, не превы-
            10         10
шающие 9, начиная с p1 .
            1        1        1
2)xn = (1 − )(1 − )...(1 − n ).
            2        4       2
            1        1       1
3)xn = (1 + )(1 + )...(1 + n ).
            2        4       2




                                         9

Страницы