Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В случае неопределенности
∞
∞
следует вынести старшую степень в числителе
и знаменателе и сократить на нее.
2.3.2. Пример.
lim
n→∞
100n
2
3n
3
+ 2
= 100 lim
n→∞
n
2
n
3
(3 +
2
n
3
)
= 100 lim
n→∞
1
n
lim
n→∞
1
3 +
2
n
3
= 0.
2.3.3. Пример.
lim
n→∞
5 ·2
n
− 3 · 5
n+1
100 · 2
n
+ 2 · 5
n
= lim
n→∞
5
n
(5
µ
2
5
n
− 3 · 5)
5
n
(100
µ
2
5
n
+ 2)
=
5 · 0 − 3 · 5
100 · 0 + 2
= −
15
2
.
2.3.4. Пример.
lim
n→∞
µ
2 − n
n + 1
+
n2
−n
n + 2
= lim
n→∞
n
µ
2
n
− 1
n
µ
1 +
1
n
+ lim
n→∞
n
1
2
n
n
µ
1 +
2
n
= −1 + 0 = −1.
Неопределенность ∞ − ∞ приводится к
∞
∞
с помощью предварительных
преобразований (приведением к общему знаменателю, домножением на со-
пряженное и т.п.).
2.3.5. Пример.
lim
n→∞
µ
n
2
+ 1
2n + 1
−
3n
2
+ 1
6n + 1
= lim
n→∞
(n
2
+ 1)(6n + 1) − (3n
2
+ 1)(2n + 1)
(2n + 1)(6n + 1)
=
lim
n→∞
6n
3
+ 6n + n
2
+ 1 − 6n
3
− 2n − 3n
2
− 1
(2n + 1)(6n + 1)
=
lim
n→∞
4n − 2n
2
(2n + 1)(6n + 1)
= lim
n→∞
n
2
(
4
n
− 2)
n
2
(2 +
1
n
)(6 +
1
n
)
= lim
n→∞
−2
12
= −
1
6
.
2.3.6. Пример.
lim
n→∞
(
p
n
2
+ n − n) = lim
n→∞
(
√
n
2
+ n − n)(
√
n
2
+ n + n)
√
n
2
+ n + n
=
11
                          ∞
В случае неопределенности    следует вынести старшую степень в числителе
                          ∞
и знаменателе и сократить на нее.
2.3.2. Пример.
              100n2               n2                        1       1
          lim        = 100 lim 3            2      = 100 lim   lim       = 0.
         n→∞ 3n3 + 2      n→∞ n (3 +                    n→∞ n n→∞ 3 + 23
                                            n3 )                      n

2.3.3. Пример.
                                       µ ¶n
                                        2
            n        n+1         5n (5       − 3 · 5)
         5·2 −3·5                       5               5·0−3·5         15
     lim                  =  lim         µ   ¶ n      =             = −    .
    n→∞ 100 · 2n + 2 · 5n   n→∞            2            100 · 0 + 2     2
                                 5n (100         + 2)
                                           5

2.3.4. Пример.
                                    ¶ µ
                               2                  1
      µ          −n
                    ¶       n    −1             n
        2 − n n2               n                   n
  lim        +        = lim µ       ¶ + lim µ 2 ¶ = −1 + 0 = −1.
 n→∞ n + 1     n+2      n→∞       1    n→∞           2
                            n 1+             n 1+
                                  n                  n
                                       ∞
Неопределенность ∞ − ∞ приводится к        с помощью предварительных
                                       ∞
преобразований (приведением к общему знаменателю, домножением на со-
пряженное и т.п.).
2.3.5. Пример.

         µ                     ¶
             n2 + 1 3n2 + 1              (n2 + 1)(6n + 1) − (3n2 + 1)(2n + 1)
   lim              −              = lim                                      =
  n→∞        2n + 1   6n + 1         n→∞           (2n + 1)(6n + 1)
                    6n3 + 6n + n2 + 1 − 6n3 − 2n − 3n2 − 1
                lim                                        =
               n→∞             (2n + 1)(6n + 1)
                                        2 4
               4n − 2n2                n ( − 2)            −2   1
        lim                 = lim         n         = lim     =− .
       n→∞ (2n + 1)(6n + 1)   n→∞ 2       1      1     n→∞ 12   6
                                   n (2 + )(6 + )
                                          n      n
2.3.6. Пример.
                                       √              √
                   p                  (  n 2 + n − n)( n2 + n + n)
              lim ( n2 + n − n) = lim          √                   =
             n→∞                  n→∞            n2 + n + n
                                           11

Страницы