Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
n
2
+ n − n
2
√
n
2
+ n + n
= lim
n→∞
n
n(
r
1 +
1
n
+ 1)
=
1
2
.
Обратим внимание на одну типичную ошибку, допускаемую многими студен-
тами. Например, при вычислении предела lim
n→∞
(−1)
n
+
1
n
1
n
2
− (−1)
n
поступают так:
lim
n→∞
(−1)
n
+
1
n
1
n
2
− (−1)
n
= lim
n→∞
(−1)
n
−(−1)
n
= −1, объясняя при этом, что
1
n
и
1
n
2
стре-
мятся к 0, что, конечно, верно, но переход к пределу совершен не по правилам.
Верное решение:
lim
n→∞
(−1)
n
+
1
n
1
n
2
− (−1)
n
= lim
n→∞
(−1)
n
µ
1 +
1
n(−1)
n
(−1)
n
µ
1
(−1)
n
n
2
− 1
=
1 + 0
0 − 1
= −1.
(Здесь
1
n(−1)
n
и
1
(−1)
n
n
2
стремятся к 0, так как стремятся к 0 их модули.)
2.4. УПРАЖНЕНИЯ
2.4.1 Вычислить пределы следующих последовательностей (найти lim
n→∞
x
n
)
[в квадратных скобках приведены ответы].
1)x
n
=
µ
n − 1
n
5
[1].
2)x
n
=
n + 1
√
n
2
+ 1
[1].
3)x
n
=
3
√
n
2
+ n
n + 2
[0].
4)x
n
=
√
n
2
+ 1 +
√
n
3
√
n
3
+ n + n
[
1
2
].
5)x
n
=
n
3
+ 27
n
4
− 15
[0].
6)x
n
=
(n + 5)
3
− n(n + 7)
2
n
2
[1].
7)x
n
=
3n
5 + 3
n+1
[0].
8)x
n
=
2
n+2
+ 3
n+3
2
n
+ 3
n
[27].
9)x
n
=
(−1)
n
· 6
n
− 5
n+1
5
n
− (−1)
n+1
· 6
n+1
[
1
6
].
10)x
n
=
(−2)
n
+ 3
n
(−2)
n+1
+ 3
n+1
[
1
3
].
11)x
n
= (
√
n + 1 −
√
n) [0].
12
                        n2 + n − n2                     n             1
                    lim √           = lim           r                = .
                   n→∞    n2 + n + n n→∞                    1         2
                                               n(    1+       + 1)
                                                            n
Обратим внимание на одну типичную ошибку, допускаемую многими студен-
                                                          1
                                                  (−1)n +
тами. Например, при вычислении предела lim                n поступают так:
                                             n→∞  1
                                                   2
                                                     − (−1)n
                                                 n
               1
     (−1)n +              (−1)n                                  1    1
 lim           n  = lim           = −1, объясняя   при этом, что   и     стре-
n→∞ 1           n   n→∞ −(−1)n                                   n    n2
        − (−1)
     n2
мятся к 0, что, конечно, верно, но переход к пределу совершен не по правилам.
Верное решение:
                                      µ            ¶
                      1             n          1
              (−1)n +           (−1) 1 +
                      n                     n(−1)n     1+0
          lim            = lim        µ             ¶=       = −1.
         n→∞ 1         n   n→∞             1           0 − 1
                 − (−1)        (−1)n             −1
              n2                        (−1)n n2
           1       1
(Здесь         и         стремятся к 0, так как стремятся к 0 их модули.)
         n(−1)n (−1)n n2
                                  2.4. УПРАЖНЕНИЯ

2.4.1 Вычислить пределы следующих последовательностей (найти lim xn )
                                                                                 n→∞
[в квадратных скобках приведены ответы].
         µ         ¶5
             n−1                                     (n + 5)3 − n(n + 7)2
1)xn =                     [1].               6)xn =                                [1].
              n                                                n2
                                                        3n
         n+1                                  7)xn =                [0].
2)xn = √             [1].                            5 + 3n+1
          n2 + 1
       √                                             2n+2 + 3n+3
       3                                      8)xn =                     [27].
          n2 + n                                       2n + 3n
3)xn =               [0].
         n+2                                          (−1)n · 6n − 5n+1             1
       √           √                          9)xn = n          n+1     n+1
                                                                                   [ ].
          n2 + 1 + n               1                 5 − (−1)        ·6             6
4)xn = √                          [ ].
         3
           n3 + n + n              2                    (−2)n + 3n              1
                                              10)xn =      n+1      n+1
                                                                               [ ].
                                                      (−2)     +3               3
      n3 + 27                                          √          √
5)xn = 4                [0].                  11)xn = ( n + 1 − n)             [0].
      n − 15
                                         12

Страницы