Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

неопределенность вида
∞
∞
), надо вынести в числителе и знаменателе стар-
шую степень и сократить на нее (см. примеры 3.5.3., 3.5.4.).
В случае, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 (говорят, что
имеет место неопределенность вида
0
0
), следует, разложив числитель и зна-
менатель на множители, выделить сомножитель, стремящийся к 0, и сокра-
тить на него (см. примеры 3.5.5., 3.5.6.).
Неопределенность вида ∞−∞ приводится к неопределенности вида
∞
∞
(см.
пример 3.5.11.).
3.4. Вычисление пределов иррациональных функций В примерах, со-
держащих иррациональности, для того, чтобы выделить выражение, подле-
жащее сокращению, следует предварительно умножить числитель и знаме-
натель на сопряженное (см. примеры 3.5.7., 3.5.8,3.5.11.).
3.5. Примеры.
3.5.1. Пример. Доказать, что lim
x→−3
2x
2
+ 5x − 3
x + 3
= −7.
5 Докажем с помощью определения (в нашем случае
f(x) =
2x
2
+ 5x − 3
x + 3
, a = −3, α = −7).
Для произвольного ε > 0 оценим разность |f(x) −α| =
¯
¯
¯
¯
2x
2
+ 5x − 3
x + 3
+ 7
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
2x
2
+ 5x − 3 + 7x + 21
x + 3
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
2x
2
+ 12x + 18
x + 3
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
2(x + 3)
2
x + 3
¯
¯
¯
¯
= 2|x + 3| < ε при
0 < |x + 3| < δ =
ε
2
. ¤
3.5.2. Пример. lim
x→0
x
2
− 1
2x
2
− x − 1
=
lim
x→0
(x
2
− 1)
lim
x→0
(2x
2
− x − 1)
=
0 − 1
0 − 1
= 1.
3.5.3. Пример. lim
x→∞
x
2
− 1
2x
2
− x − 1
= lim
x→∞
x
2
µ
1 −
1
x
2
x
2
µ
2 −
1
x
−
1
x
2
=
lim
x→∞
1 −
1
x
2
2 −
1
x
−
1
x
2
=
1 − 0
2 − 0 − 0
=
1
2
.
14
                      ∞
неопределенность вида    ), надо вынести в числителе и знаменателе стар-
                      ∞
шую степень и сократить на нее (см. примеры 3.5.3., 3.5.4.).
В случае, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 (говорят, что
                                   0
имеет место неопределенность вида ), следует, разложив числитель и зна-
                                   0
менатель на множители, выделить сомножитель, стремящийся к 0, и сокра-
тить на него (см. примеры 3.5.5., 3.5.6.).
                                                                             ∞
Неопределенность вида ∞ − ∞ приводится к неопределенности вида                 (см.
                                                                             ∞
пример 3.5.11.).
3.4. Вычисление пределов иррациональных функций В примерах, со-
держащих иррациональности, для того, чтобы выделить выражение, подле-
жащее сокращению, следует предварительно умножить числитель и знаме-
натель на сопряженное (см. примеры 3.5.7., 3.5.8,3.5.11.).

                                  3.5. Примеры.
                                          2x2 + 5x − 3
3.5.1. Пример. Доказать, что lim                         = −7.
                                    x→−3       x+3
5 Докажем с помощью определения (в нашем случае
                              2x2 + 5x − 3
                     f (x) =                 , a = −3, α = −7).
                                  x+3
                                                                 ¯ 2               ¯
                                                                 ¯ 2x + 5x − 3     ¯
Для произвольного ε > 0 оценим разность |f (x) − α| = ¯¯                       + 7¯¯ =
¯ 2                        ¯ ¯ 2                 ¯ ¯              ¯ x+3
¯ 2x + 5x − 3 + 7x + 21 ¯ ¯ 2x + 12x + 18 ¯ ¯ 2(x + 3) ¯        2
¯                          ¯=¯                   ¯=¯              ¯
¯         x+3              ¯ ¯       x+3         ¯ ¯ x + 3 ¯ = 2|x + 3| < ε при
                   ε
0 < |x + 3| < δ = . ¤
                   2
                           x2 − 1          lim (x2 − 1)        0−1
3.5.2. Пример. lim 2                 = x→0                  =         = 1.
                  x→0 2x − x − 1        lim (2x2 − x − 1) 0 − 1
                                        x→0
                                                                    µ      ¶
                                                                         1
                                                                x2 1 − 2
                                 x2 − 1                                  x
3.5.3. Пример.           lim                     =      lim     µ            ¶       =
                        x→∞ 2x2 − x − 1                x→∞             1   1
                                                              2
                                                            x 2− − 2
                                                                      x x
            1
       1− 2            1−0         1
 lim        x    =              = .
x→∞      1    1      2−0−0 2
     2− − 2
         x x
                                         14

Страницы