Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.5.4. Пример. lim
x→∞
(2x − 3)
20
(3x + 20)
30
(2x + 1)
50
= lim
x→∞
x
20
µ
2 −
3
x
20
x
30
µ
3 +
20
x
30
x
50
µ
2 +
1
x
50
=
= lim
x→∞
µ
2 −
3
x
20
µ
3 +
20
x
30
µ
2 +
1
x
50
=
2
20
· 3
30
2
50
=
µ
3
2
30
.
3.5.5. Пример. lim
x→1
x
2
− 1
2x
2
− x − 1
=
= lim
x→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(2x + 1)
= lim
x→1
x + 1
2x + 1
=
2
3
.
3.5.6. Пример. lim
x→1
x
3
− x
2
− x + 1
x
3
+ x
2
− x − 1
= lim
x→1
x
2
(x − 1) − (x − 1)
x
2
(x + 1) − (x + 1)
=
= lim
x→1
(x − 1)(x
2
− 1)
(x + 1)(x
2
− 1)
= lim
x→1
x − 1
x + 1
=
0
2
= 0.
3.5.7. Пример.lim
x→0
√
x + 4 − 2
x
= lim
x→0
(
√
x + 4 − 2)(
√
x + 4 + 2)
x(
√
x + 4 + 2)
=
= lim
x→0
x + 4 − 4
x(
√
x + 4 + 2)
= lim
x→0
1
√
x + 4 + 2
=
1
4
.
( Здесь мы умножили числитель и знаменатель на
√
x + 4 + 2—сопряженное
к
√
x + 4 − 2, затем применили в числителе формулу разности квадратов).
3.5.8. Пример. lim
x→−8
√
1 − x − 3
2 +
3
√
x
=
= lim
x→−8
(
√
1 − x − 3)(
√
1 − x + 3)(4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
)
(2 +
3
√
x)((4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
)(
√
1 − x + 3)
=
= lim
x→−8
(1 − x − 9)(4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
)
(8 + x)(
√
1 − x + 3)
=
= − lim
x→−8
4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
√
1 − x + 3
= −
4 + 4 + 4
3 + 3
= −2.
15
                                                        µ          ¶20         µ        ¶30
                                                               3                   20
                                                  x20       2−           x30    3+
                   (2x − 3)20 (3x + 20)30                      x                   x
3.5.4. Пример. lim                        = lim                    µ           ¶50            =
              x→∞       (2x + 1)50          x→∞                           1
                                                             x50       2+
                                                                          x
                  µ     ¶20 µ        ¶30
                      3           20
                   2−         3+                       µ ¶30
                      x           x        220 · 330    3
            = lim     µ       ¶50        =           =       .
              x→∞           1                250        2
                        2+
                            x

                     x2 − 1
3.5.5. Пример. lim 2          =
               x→1 2x − x − 1

                         (x − 1)(x + 1)       x+1     2
                  = lim                 = lim        = .
                    x→1 (x − 1)(2x + 1)   x→1 2x + 1  3

                   x3 − x2 − x + 1       x2 (x − 1) − (x − 1)
3.5.6. Пример. lim 3               = lim 2                    =
               x→1 x + x2 − x − 1    x→1 x (x + 1) − (x + 1)

                      (x − 1)(x2 − 1)        x−1 0
                = lim                 =  lim      = = 0.
                  x→1 (x + 1)(x2 − 1)   x→1 x + 1    2
                   √                   √           √
                     x+4−2            ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2)
3.5.7. Пример. lim             = lim          √                =
               x→0      x        x→0        x( x + 4 + 2)
                         x+4−4                    1        1
                = lim    √             = lim √          = .
                  x→0 x( x + 4 + 2)      x→0   x+4+2 4
                                                      √
( Здесь мы умножили числитель и знаменатель на x + 4 + 2—сопряженное
  √
к x + 4 − 2, затем применили в числителе формулу разности квадратов).
                      √
                        1−x−3
3.5.8. Пример. lim          √      =
                x→−8    2+ 3x
                    √             √                   √  √3
                   ( 1 − x − 3)( 1 − x + 3)(4 − 2 3 x + x2 )
            = lim         √          √      √     √           =
             x→−8 (2 + 3 x)((4 − 2 3 x + 3 x2 )( 1 − x + 3)

                                             √     √3
                           (1 − x − 9)(4 − 2 3 x + x2 )
                   = lim                √               =
                      x→−8     (8 + x)( 1 − x + 3)
                              √      √
                                     3
                         4 − 2 3 x + x2        4+4+4
               = − lim √                   =−           = −2.
                    x→−8     1−x+3               3+3
                                    15

Страницы