Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= lim
x→+∞
x
2
+ 8x + 3 − x
2
− 4x − 3
√
x
2
+ 8x + 3 +
√
x
2
+ 4x + 3
= lim
x→+∞
4x
√
x
2
+ 8x + 3 +
√
x
2
+ 4x + 3
=
= {
∞
∞
} = lim
x→+∞
4
p
1 + 8/x + 3/x
2
+
p
1 + 4/x + 3/x
2
=
4
2
= 2.
3.6. УПРАЖНЕНИЯ
3.6.1. В следующих примерах доказать (найти δ(ε)), что:
1) lim
x→−2
3x
2
+ 5x − 2
x + 2
= −7.
2) lim
x→3
x
2
− 4x + 3
x − 3
= 2.
3) lim
x→1
5x
2
− 4x − 1
x − 1
= 6.
4) lim
x→−1/2
6x
2
+ x − 1
x + 1/2
= −7.
4) lim
x→1/2
6x
2
− x − 1
x − 1/2
= 5.
6) lim
x→−7/5
10x
2
+ 9x − 7
x + 7/5
= −19.
3.6.2. Вычислить пределы функций [в квадратных скобках указаны ответы].
1) lim
x→∞
x
3
+ 2x
2
+ 3x + 4
4x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1
[
1
4
].
2) lim
x→∞
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(5x − 1)
5
[
1
5
5
].
3) lim
x→∞
(x + 1)(x
2
+ 1)...(x
n
+ 1)
((nx)
n
+ 1)
n+1
2
[
1
n
n(n+1)
2
].
4) lim
x→∞
3x
4
− 2
√
x
8
+ 3x + 4
[3].
17
       x2 + 8x + 3 − x2 − 4x − 3                  4x
= lim √              √           = lim √             √           =
 x→+∞   x2 + 8x + 3 + x2 + 4x + 3 x→+∞ x2 + 8x + 3 + x2 + 4x + 3

             ∞                          4                 4
        ={     } = lim p                  p              = = 2.
             ∞    x→+∞   1 + 8/x + 3/x2 + 1 + 4/x + 3/x2  2

                           3.6. УПРАЖНЕНИЯ

3.6.1. В следующих примерах доказать (найти δ(ε)), что:

                                  3x2 + 5x − 2
                          1) lim               = −7.
                             x→−2     x+2

                                    x2 − 4x + 3
                             2) lim             = 2.
                                x→3    x−3

                                   5x2 − 4x − 1
                            3) lim              = 6.
                               x→1     x−1

                                   6x2 + x − 1
                          4) lim               = −7.
                            x→−1/2   x + 1/2

                                       6x2 − x − 1
                            4) lim                 = 5.
                                 x→1/2   x − 1/2

                                  10x2 + 9x − 7
                         6) lim                 = −19.
                           x→−7/5    x + 7/5
3.6.2. Вычислить пределы функций [в квадратных скобках указаны ответы].
        x3 + 2x2 + 3x + 4       1
1) lim                        [   ].
  x→∞ 4x3 + 3x2 + 2x + 1        4
       (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)                        1
2) lim                                                        [      ].
  x→∞               (5x − 1)5                                     55
       (x + 1)(x2 + 1)...(xn + 1)                1
3) lim                   n+1            [       n(n+1)
                                                         ].
  x→∞       ((nx)n + 1) 2                   n      2

              4
            3x − 2
4) lim √                  [3].
  x→∞      x8 + 3x + 4
                                            17

Страницы