Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(Здесь мы умножили числитель и знаменатель на выражения (
√
1 − x + 3)
и на (4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
), а затем применили формулы разности квадратов в
числителе и суммы кубов в знаменателе.
3.5.9. Пример. Найти lim
x→0
n
√
1 + x − 1
x
.
5 Положим 1 + x = y
n
. Тогда
lim
x→0
n
√
1 + x − 1
x
= lim
y→1
y − 1
y
n
− 1
= lim
y→1
y − 1
(y − 1)(y
n−1
+ y
n−2
+ ... + 1)
=
1
n
. ¤
3.5.10. Пример. Найти lim
x→0
3
r
1 +
x
3
−
4
r
1 +
x
4
1 −
r
1 −
x
2
.
5 Вычислим этот предел с использованием результата примера 3.5.9. Вычи-
тая и добавляя единицу в числителе и разделив числитель и знаменатель на
x, получим
lim
x→0
3
r
1 +
x
3
−
4
r
1 +
x
4
1 −
r
1 −
x
2
= lim
x→0
3
r
1 +
x
3
− 1
3 ·
x
3
−
4
r
1 +
x
4
− 1
4 ·
x
4
r
1 + (−
x
2
) − 1
2(−
x
2
)
=
1
3
·
1
3
−
1
4
·
1
4
1
2
·
1
2
=
7
36
. ¤
3.5.11. Пример.
lim
x→+∞
(
p
x
2
+ 8x + 3 −
p
x
2
+ 4x + 3) = {∞ − ∞} =
= lim
x→+∞
(
√
x
2
+ 8x + 3 −
√
x
2
+ 4x + 3)(
√
x
2
+ 8x + 3 +
√
x
2
+ 4x + 3)
√
x
2
+ 8x + 3 +
√
x
2
+ 4x + 3
=
16
                                                           √
(Здесь мы умножили числитель и знаменатель на выражения ( 1 − x + 3)
           √     √3
и на (4 − 2 3 x + x2 ), а затем применили формулы разности квадратов в
числителе и суммы кубов в знаменателе.
                          √n
                             1+x−1
3.5.9. Пример. Найти lim            .
                      x→0      x
5 Положим 1 + x = y n . Тогда

        √
        n
            1+x−1       y−1                      y−1                1
  lim             = lim n     = lim           n−1    n−2
                                                                   = .¤
  x→0         x     y→1 y − 1   y→1 (y − 1)(y     +y     + ... + 1) n
                          r         r
                                x         x
                           3
                             1+ − 4 1+
                                3         4
3.5.10. Пример. Найти lim        r          .
                      x→0             x
                              1− 1−
                                       2
5 Вычислим этот предел с использованием результата примера 3.5.9. Вычи-
тая и добавляя единицу в числителе и разделив числитель и знаменатель на
x, получим
                                    r                r
                                           x                 x
                                    3
                                      1+ −1           4
                                                        1+ −1
                r       r                  3                 4
                     x      x              x      −          x
                3
                  1+ − 4 1+            3 ·               4 ·
                     3      4              3                 4
            lim       r       = lim       r                    =
            x→0           x     x→0                 x
                   1− 1−                     1 + (− ) − 1
                          2                          2
                                                   x
                                               2(− )
                                                    2
                             1 1 1 1
                              · − ·
                             3 3 4 4 = 7.¤
                                1 1    36
                                 ·
                                2 2
3.5.11. Пример.
                     p            p
                lim ( x + 8x + 3 − x2 + 4x + 3) = {∞ − ∞} =
                       2
               x→+∞



         √             √              √            √
        ( x2 + 8x + 3 − x2 + 4x + 3)( x2 + 8x + 3 + x2 + 4x + 3)
  = lim                √              √                          =
   x→+∞                  x2 + 8x + 3 + x2 + 4x + 3

                                     16

Страницы