Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
2.1. При вычислении пределов последовательностей используются следую-
щие арифметические свойства.
lim
n→∞
cx
n
= c lim
n→∞
x
n
.
lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = lim
n→∞
x
n
+ lim
n→∞
y
n
.
lim
n→∞
x
n
y
n
= lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
.
lim
n→∞
x
n
y
n
=
lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
( lim
n→∞
y
n
6= 0).
(Равенства понимаются в том смысле, что если существуют пределы в правых
частях равенств, то существуют и в левых, и они равны)
2.2. Также будем использовать следующие свойства:
x
n
−→ 0 ⇐⇒ |x
n
| −→ 0.
x
n
−→ ∞ =⇒
1
x
n
−→ 0.
x
n
−→ 0 =⇒
1
x
n
−→ ∞.
2.3. Примеры.
2.3.1. Пример.
lim
n→∞
3 + (0, 5)
n
(0, 3)
n+1
+ 5
=
3 + 0
0 + 5
=
3
5
.
(Здесь мы воспользовались арифметическими свойствами предела и приме-
ром 1.5.1.)
10
 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.


2.1. При вычислении пределов последовательностей используются следую-
щие арифметические свойства.


                            lim cxn = c lim xn .
                            n→∞           n→∞



                     lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn .
                    n→∞              n→∞         n→∞



                        lim xn yn = lim xn lim yn .
                       n→∞           n→∞     n→∞



                        xn    lim xn
                             n→∞
                    lim    =                ( lim yn 6= 0).
                   n→∞ yn     lim yn        n→∞
                               n→∞
(Равенства понимаются в том смысле, что если существуют пределы в правых
частях равенств, то существуют и в левых, и они равны)

2.2. Также будем использовать следующие свойства:


                          xn −→ 0 ⇐⇒ |xn | −→ 0.


                                          1
                          xn −→ ∞ =⇒         −→ 0.
                                          xn

                                          1
                          xn −→ 0 =⇒         −→ ∞.
                                          xn

                             2.3. Примеры.

2.3.1. Пример.
                          3 + (0, 5)n    3+0 3
                      lim              =    = .
                     n→∞ (0, 3)n+1 + 5   0+5 5
(Здесь мы воспользовались арифметическими свойствами предела и приме-
ром 1.5.1.)

                                     10

Страницы