Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5.8. Пример. Доказать, что последовательность x
n
сходится (имеет пре-
дел).
x
n
=
10
1
·
11
3
· ... ·
n + 9
2n − 1
.
5 Покажем, что последовательность является убывающей.
x
n+1
x
n
=
10 · 11 · ... · (n + 9)(n + 10) · 1 · 3 · ... · (2n − 1)
1 · 3 · ... · (2n − 1)(2n + 1) · 10 · 11 · ... · (n + 9)
=
n + 10
2n + 1
< 1, n > 9.
Следовательно, x
n+1
< x
n
(n > 9) , то есть x
n
убывает. Кроме того, x
n
ограничена снизу: x
n
> 0. Таким образом, по теореме о монотонной ограни-
ченной последовательности x
n
является сходящейся. ¤
1.5.9. Пример. С помощью теоремы о монотонной ограниченной последо-
вательности доказать, что lim
n→∞
a
n
n!
= 0.
5 Так как |x
n
| → 0 влечет x
n
→ 0, достаточно рассмотреть случай a > 0.
Покажем, что последовательность x
n
=
a
n
n!
убывающая. Действительно,
x
n+1
x
n
=
a
n+1
n!
a
n
(n + 1)!
=
a
n + 1
< 1 , начиная с некоторого n. Кроме того
x
n
ограничена снизу: x
n
> 0. По теореме о монотонной ограниченной по-
следовательности существует lim
n→∞
x
n
. Обозначим его через c. Переходя к
пределу в равенстве x
n+1
=
a
n + 1
x
n
, получим: c = 0 ·c = 0. Таким образом,
c = lim
n→∞
a
n
n!
= 0. ¤
1.6. УПРАЖНЕНИЯ
1.6.1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
lim
n→∞
x
n
= a (указать N ∈ N).
1)x
n
=
n
n + 1
, a = 1.
2)x
n
=
(−1)
n+1
n
, a = 0.
3)x
n
=
2n
n
3
+ 1
, a = 0.
4)x
n
=
1
n!
, a = 0.
5)x
n
= (−1)
n
0, 999
n
, a = 0.
6)x
n
=
log
b
n
n
, a = 0.
8
1.5.8. Пример. Доказать, что последовательность xn сходится (имеет пре-
дел).
    10 11          n+9
xn =  ·   · ... ·        .
    1 3           2n − 1
5 Покажем, что последовательность является убывающей.


 xn+1   10 · 11 · ... · (n + 9)(n + 10) · 1 · 3 · ... · (2n − 1) n + 10
      =                                                         =       < 1, n > 9.
  xn    1 · 3 · ... · (2n − 1)(2n + 1) · 10 · 11 · ... · (n + 9) 2n + 1
Следовательно, xn+1 < xn         (n > 9) , то есть xn убывает. Кроме того, xn
ограничена снизу: xn > 0. Таким образом, по теореме о монотонной ограни-
ченной последовательности xn является сходящейся. ¤

1.5.9. Пример. С помощью теоремы о монотонной ограниченной последо-
                              an
вательности доказать, что lim    = 0.
                          n→∞ n!
5 Так как |xn | → 0 влечет xn → 0, достаточно рассмотреть случай a > 0.
                                         an
Покажем, что последовательность xn =        убывающая. Действительно,
                                         n!
xn+1       an+1 n!       a
      = n           =        < 1 , начиная с некоторого n. Кроме того
 xn      a (n + 1)!    n+1
xn ограничена снизу: xn > 0. По теореме о монотонной ограниченной по-
следовательности существует lim xn . Обозначим его через c. Переходя к
                             n→∞
                             a
пределу в равенстве xn+1 =       xn , получим: c = 0 · c = 0. Таким образом,
                           n + 1
        an
c = lim    = 0. ¤
    n→∞ n!


                            1.6. УПРАЖНЕНИЯ

1.6.1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
lim xn = a (указать N ∈ N).
n→∞

          n                                           1
1)xn =       ,   a = 1.                      4)xn =      ,   a = 0.
         n+1                                          n!
       (−1)n+1
2)xn =         , a = 0.                      5)xn = (−1)n 0, 999n ,       a = 0.
          n
         2n                                           logb n
3)xn = 3     , a = 0.                        6)xn =          ,   a = 0.
       n +1                                             n
                                         8

Страницы