Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

что влечет |q|
n
<
1
δn
и, следовательно, неравенство |q|
n
< ε справедливо при
n >
1
εδ
=
1
ε
µ
1
|q|
− 1
.
Таким образом, ∀ε > 0 ∃N ∈ N (в качестве N можно взять, например,
[
1
εδ
] + 1) такое, что ∀n > N(|q|
n
< ε), откуда и следует, что lim
n→∞
q
n
= 0. ¤
1.5.2. Пример. lim
n→∞
q
n
= ∞ , если |q| > 1.
5 Следует из примера 1.5.1:
q
n
=
1
µ
1
q
n
−→ ∞. ¤
1.5.3. Пример. lim
n→∞
n
√
a = 1 (a > 0).
5 При a = 1 равенство верно. Докажем для случая a > 1 (тогда случай
a < 1 будет следовать из доказанного и выкладки
n
√
a =
1
1
n
√
a
−→ 1).
Обозначим α
n
=
n
√
a − 1 и докажем, что lim
n→∞
α
n
= 0. Имеем
a = (
n
√
a)
n
= (1 + α
n
)
n
> nα
n
(здесь, как и в примере 1, мы воспользовались формулой бинома), откуда
0 < α
n
<
a
n
и, следовательно, по теореме "о двух милиционерах" α
n
−→ 0. ¤
1.5.4. Пример. lim
n→∞
n
√
n = 1.
5 Как и в предыдущем примере, обозначим α
n
=
n
√
n − 1 и докажем, что
lim
n→∞
α
n
= 0. Пользуясь снова формулой бинома Ньютона, имеем
n = (1 + α
n
)
n
= 1 + nα
n
+
n(n − 1)
2
α
2
n
+ ... >
n(n − 1)
2
α
2
n
, n ≥ 2
Учитывая, что n − 1 ≥
n
2
при n ≥ 2, получим
n >
n
2
4
α
2
n
=⇒ 0 < α
n
<
2
√
n
=⇒ α
n
−→ 0. ¤
6
                     1
что влечет |q|n <      и, следовательно, неравенство |q|n < ε справедливо при
                    δn
                                  1          1
                             n>     = µ           ¶.
                                 εδ        1
                                      ε        −1
                                          |q|
Таким образом, ∀ε > 0 ∃N ∈ N (в качестве N можно взять, например,
 1
[ ] + 1) такое, что ∀n > N (|q|n < ε), откуда и следует, что lim q n = 0. ¤
 εδ                                                          n→∞

1.5.2. Пример. lim q n = ∞ , если |q| > 1.
                    n→∞
5 Следует из примера 1.5.1:
                                        1
                                 q n = µ ¶n −→ ∞. ¤
                                        1
                                        q
                          √
1.5.3. Пример. lim        n
                              a = 1 (a > 0).
                    n→∞
5 При a = 1 равенство верно. Докажем для случая a > 1 (тогда случай
a < 1 будет следовать из доказанного и выкладки
                             √        1
                              n
                                a=       −→ 1).
                                      1
                                    √n
                                       a
                 √
Обозначим αn = n a − 1 и докажем, что lim αn = 0. Имеем
                                          n→∞
                            √
                       a = ( n a)n = (1 + αn )n > nαn

(здесь, как и в примере 1, мы воспользовались формулой бинома), откуда
          a
0 < αn < и, следовательно, по теореме "о двух милиционерах" αn −→ 0. ¤
          n
                     √
1.5.4. Пример. lim n n = 1.
                 n→∞
                                                 √
5 Как и в предыдущем примере, обозначим αn = n n − 1 и докажем, что
lim αn = 0. Пользуясь снова формулой бинома Ньютона, имеем
n→∞

                                     n(n − 1) 2         n(n − 1) 2
      n = (1 + αn )n = 1 + nαn +             αn + ... >         αn ,   n≥2
                                        2                  2
                       n
Учитывая, что n − 1 ≥    при n ≥ 2, получим
                       2
                    n2 2               2
                 n > αn =⇒ 0 < αn < √ =⇒ αn −→ 0. ¤
                    4                   n
                                           6

Страницы