Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

II. Исследования, проводимые при помощи производных.
6) Вычислить производную функции.
7) Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции.
8) Найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх и вниз.
16.2. Примеры.
16.2.1. Построить график функции
y =
x
2
(x − 1)
(1 + x)
2
.
5Функция определена всюду, кроме точки x = −1. Данная функция не
является четной или нечетной, не является периодичной. Решая уравнение
x
2
(x − 1)
(1 + x)
2
= 0,
находим нули функции x = 0 и x = 1.
Функция f(x) > 0 при x > 1 и f(x) < 0 при x < 1. Функция непрерывна на
всей области существования. Как показано в примере 15.2.2., при x → ±∞
функция обладает асимптотой y = x − 3 и функция обладает вертикальной
асимптотой x = −1 при x → −1.
Найдем производную
y
0
=
(3x
2
− 2x)(x + 1)
2
− 2(x + 1)(x
3
− x
2
)
(1 + x)
4
=
x(x
2
+ 3x − 2)
(1 + x)
3
.
Производная равна нулю в точках x = 0, x =
−3−
√
17
2
' −3, 56 и
x =
−3+
√
17
2
' 0, 56 и не определена в точке x = −1. Обозначим точки
по возрастанию x
1
=
−3−
√
17
2
, x
2
= −1, x
3
= 0 и x
4
=
−3+
√
17
2
. Знак произ-
водной и промежутки монотонности приводятся в следующей таблице:
x < x
1
x
1
< x < x
2
x
2
< x < x
3
x
3
< x < x
4
x > x
4
y
0
(x) > 0 y
0
(x) < 0 y
0
(x) > 0 y
0
(x) < 0 y
0
(x) > 0
возрастает убывает возрастает убывает возрастает
74
             II. Исследования, проводимые при помощи производных.
6) Вычислить производную функции.
7) Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции.
8) Найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх и вниз.

                                 16.2. Примеры.

16.2.1. Построить график функции
                                          x2 (x − 1)
                                     y=              .
                                           (1 + x)2
5Функция определена всюду, кроме точки x = −1. Данная функция не
является четной или нечетной, не является периодичной. Решая уравнение
                                     x2 (x − 1)
                                                = 0,
                                      (1 + x)2
находим нули функции x = 0 и x = 1.
Функция f (x) > 0 при x > 1 и f (x) < 0 при x < 1. Функция непрерывна на
всей области существования. Как показано в примере 15.2.2., при x → ±∞
функция обладает асимптотой y = x − 3 и функция обладает вертикальной
асимптотой x = −1 при x → −1.
Найдем производную

         0  (3x2 − 2x)(x + 1)2 − 2(x + 1)(x3 − x2 ) x(x2 + 3x − 2)
        y =                                        =               .
                           (1 + x)4                    (1 + x)3
                                                                      √
                                                                  −3− 17
Производная равна нулю в точках x = 0, x =                           2        ' −3, 56 и
         √
      −3+ 17
x =      2      ' 0, 56 и не определена в точке x = −1. Обозначим точки
                             √                                         √
                         −3− 17                                    −3+ 17
по возрастанию x1 =         2   ,    x2 = −1, x3 = 0 и x4 =           2   .   Знак произ-
водной и промежутки монотонности приводятся в следующей таблице:

         x < x1      x1 < x < x 2     x2 < x < x 3       x3 < x < x 4         x > x4
       y 0 (x) > 0     y 0 (x) < 0        y 0 (x) > 0      y 0 (x) < 0     y 0 (x) > 0
      возрастает        убывает        возрастает           убывает      возрастает



                                            74

Страницы