Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

15.4. Примеры.
15.4.1. Найти асимптоты функции
y =
2x
1 + x
2
.
5Вычислим пределы
k = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
2x
x(1 + x
2
)
= 0 и b lim
x→+∞
f(x)−kx = lim
x→+∞
2x
(1 + x
2
)
= 0.
Такие же пределы получаются при x → −∞. Значит при x → ±∞ функция
обладает горизонтальной асимптотой y = 0.¤
15.4.2. Найти асимптоты функции
y =
x
2
(x − 1)
(1 + x)
2
.
5 Вычислим пределы
k = lim
x→∞
f(x)
x
= lim
x→∞
x
2
(x − 1)
x(1 + x)
2
= 1 и
b = lim
x→∞
f(x) − kx = lim
x→∞
x
2
(x − 1)
(1 + x)
2
− x = −3.
Полученные пределы не зависят от знака x, поэтому при x → ±∞ функция
обладает асимптотой y = x − 3.
Кроме того функция обладает вертикальной асимптотой x = −1, так как
lim
x→−1
x
2
(x − 1)
(1 + x)
2
= ∞.¤
15.4.3. Найти асимптоты функции y = f(x), заданной параметрически урав-
нениями x(t) =
3at
1+t
3
и y(t) =
3at
2
1+t
3
.
5 Заметим, что lim
t→−1
x(t) = ∞ lim
t→−1
y(t) = ∞. Вычислим пределы
k = lim
x→∞
y(t)
x(t)
= lim
t→−1
3at
2
1 + t
3
÷
3at
1 + t
3
= −1 и
lim
x→∞
y(t) − kx(t) = lim
t→−1
3at
2
1 + t
3
+
3at
1 + t
3
= lim
t→−1
3at
1 − t + t
2
= −a.
72
                                   15.4. Примеры.

15.4.1. Найти асимптоты функции
                                               2x
                                       y=           .
                                             1 + x2
5Вычислим пределы
       f (x)          2x                                      2x
k = lim      = lim            = 0 и b  lim f (x)−kx =  lim           = 0.
   x→+∞ x     x→+∞ x(1 + x2 )         x→+∞            x→+∞ (1 + x2 )

Такие же пределы получаются при x → −∞. Значит при x → ±∞ функция
обладает горизонтальной асимптотой y = 0.¤

15.4.2. Найти асимптоты функции
                                            x2 (x − 1)
                                     y=                .
                                             (1 + x)2
5 Вычислим пределы
                                f (x)       x2 (x − 1)
                        k = lim       = lim            =1и
                            x→∞ x       x→∞ x(1 + x)2

                                      x2 (x − 1)
             b = lim f (x) − kx = lim            − x = −3.
                 x→∞              x→∞ (1 + x)2

Полученные пределы не зависят от знака x, поэтому при x → ±∞ функция
обладает асимптотой y = x − 3.
Кроме того функция обладает вертикальной асимптотой x = −1, так как
                                    x2 (x − 1)
                                lim            = ∞.¤
                               x→−1 (1 + x)2


15.4.3. Найти асимптоты функции y = f (x), заданной параметрически урав-
                  3at              3at2
нениями x(t) =   1+t3   и y(t) =   1+t3 .
5 Заметим, что lim x(t) = ∞ lim y(t) = ∞. Вычислим пределы
                  t→−1                t→−1

                         y(t)         3at2     3at
                 k = lim      = lim       3
                                            ÷        = −1 и
                     x→∞ x(t)   t→−1 1 + t    1 + t3
                                3at2     3at           3at
       lim y(t) − kx(t) = lim         +       = lim            = −a.
      x→∞                 t→−1 1 + t3   1 + t3 t→−1 1 − t + t2
                                              72

Страницы