Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно на промежутках (−∞, −1) и (1, +∞) функция убывает, а на
промежутке (−1, 1) возрастает.¤
14.6.2. Определить промежутки выпуклости вверх и вниз, найти точки пе-
региба функции
y =
2x
1 + x
2
.
5 Первая производная вычислена в примере 13.4.1.
y
0
=
2(1 − x
2
)
(1 + x
2
)
2
.
Вторая производная
y
00
=
−4x(4 − x
2
)
(1 + x
2
)
3
определена на всей числовой прямой и равна нулю при x = −2, x = 0 и x =
2. Изменение знака второй производной приводится в следующей таблице:
x < −2 −2 < x < 0 0 < x < 2 x > 2
y
00
(x) < 0 y
00
(x) > 0 y
00
(x) < 0 y
00
(x) > 0
Следовательно, на промежутках (−∞, −2) и (0, 2) функция выпукла вверх,
а на промежутках (−2, 0) и (2, +∞) выпукла вниз. Точки x = −2, x = 0 и
x = 2 являются точками перегиба.¤
14.7. УПРАЖНЕНИЯ.
14.7.1. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функ-
ций
1)y = 3x − x
3
,
2)y =
√
x
x + 100
,
3)y = x + sin x,
4)y =
x
2
2
x
,
5)y = sin
4
x + cos
4
x,
6)y = x
2
− ln x
2
,
7)y = x + sin x,
8)y = x(
r
3
2
+ sin ln x).
14.7.2. Определить промежутки выпуклости вверх и вниз, найти точки пе-
региба следующих функций
70
Следовательно на промежутках (−∞, −1) и (1, +∞) функция убывает, а на
промежутке (−1, 1) возрастает.¤
14.6.2. Определить промежутки выпуклости вверх и вниз, найти точки пе-
региба функции
                                   2x
                                     y= .
                                 1 + x2
5 Первая производная вычислена в примере 13.4.1.
                                        2(1 − x2 )
                                 y0 =              .
                                        (1 + x2 )2
Вторая производная
                                −4x(4 − x2 )
                                00
                            y =
                                  (1 + x2 )3
определена на всей числовой прямой и равна нулю при x = −2, x = 0 и x =
2. Изменение знака второй производной приводится в следующей таблице:
                 x < −2      −2 < x < 0        02
             y 00 (x) < 0      y 00 (x) > 0 y 00 (x) < 0     y 00 (x) > 0
Следовательно, на промежутках (−∞, −2) и (0, 2) функция выпукла вверх,
а на промежутках (−2, 0) и (2, +∞) выпукла вниз. Точки x = −2, x = 0 и
x = 2 являются точками перегиба.¤

                            14.7. УПРАЖНЕНИЯ.
14.7.1. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функ-
ций

                                                        5)y = sin4 x + cos4 x,
          1)y = 3x − x3 ,
                   √                                      6)y = x2 − ln x2 ,
                     x
          2)y =          ,
                 x + 100
                                                           7)y = x + sin x,
          3)y = x + sin x,                                      r
                   x2                                             3
             4)y = x ,                                 8)y = x(     + sin ln x).
                   2                                              2

14.7.2. Определить промежутки выпуклости вверх и вниз, найти точки пе-
региба следующих функций

                                          70

Страницы