Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то говорят,
что она монотонна на этом промежутке.
14.2. Признак монотонности функций. Если f
0
(x) > 0 при x ∈ (a, b), то
функция f(x) возрастает на промежутке (a, b). Если f
0
(x) < 0 при всех x
из (a, b), то функция f(x) убывает на промежутке (a, b).
14.3. Выпуклость вверх и вниз. Функция f(x) называется выпуклой вверх
на промежутке (a, b), если график y = f(x)(a < x < b) расположен ниже
касательной, проведенной к графику в любой точке промежутка (a, b).
Функция f(x) называется выпуклой вниз на промежутке (a, b), если график
y = f(x)(a < x < b) расположен выше касательной, проведенной к графику
в любой точке промежутка (a, b).
14.4.
Признак выпуклости вверх и вниз.
Если
f
00
(
x
)
>
0
при
x
из
(
a, b
)
, то
функция f(x) является выпуклой вниз на промежутке (a, b). Если f
00
(x) < 0
при x ∈ (a, b), то функция f(x) является выпуклой вверх на промежутке
(a, b).
14.5. Точки перегиба. Точки, в которых меняется направление выпуклости
функции называютсяточками перегиба. Для того, чтобы точка x
0
была точ-
кой перегиба необходимо , чтобы f
00
(x
0
) = 0 либо вторая производная в x
0
не существовала, и достаточно, чтобы f
00
(x) меняла свой знак при переходе
через x
0
.
14.6. Примеры.
14.6.1. Определить промежутки возрастания и убывания функции
y =
2x
1 + x
2
.
5 Используем вычисления примера 13.4.1. Изменение знака производной
функции приводится в следующей таблице:
x < −1 −1 < x < 1 x > 1
y
0
(x) < 0 y
0
(x) > 0 y
0
(x) < 0
69
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то говорят,
что она монотонна на этом промежутке.

14.2. Признак монотонности функций. Если f 0 (x) > 0 при x ∈ (a, b), то
функция f (x) возрастает на промежутке (a, b). Если f 0 (x) < 0 при всех x
из (a, b), то функция f (x) убывает на промежутке (a, b).

14.3. Выпуклость вверх и вниз. Функция f (x) называется выпуклой вверх
на промежутке (a, b), если график y = f (x)(a < x < b) расположен ниже
касательной, проведенной к графику в любой точке промежутка (a, b).
Функция f (x) называется выпуклой вниз на промежутке (a, b), если график
y = f (x)(a < x < b) расположен выше касательной, проведенной к графику
в любой точке промежутка (a, b).

14.4. Признак выпуклости вверх и вниз. Если f 00 (x) > 0 при x из (a, b), то
функция f (x) является выпуклой вниз на промежутке (a, b). Если f 00 (x) < 0
при x ∈ (a, b), то функция f (x) является выпуклой вверх на промежутке
(a, b).

14.5. Точки перегиба. Точки, в которых меняется направление выпуклости
функции называютсяточками перегиба. Для того, чтобы точка x0 была точ-
кой перегиба необходимо , чтобы f 00 (x0 ) = 0 либо вторая производная в x0
не существовала, и достаточно, чтобы f 00 (x) меняла свой знак при переходе
через x0 .

                              14.6. Примеры.

14.6.1. Определить промежутки возрастания и убывания функции
                                         2x
                                  y=          .
                                       1 + x2
5 Используем вычисления примера 13.4.1. Изменение знака производной
функции приводится в следующей таблице:

                      x < −1      −1 < x < 1          x>1
                    y 0 (x) < 0     y 0 (x) > 0   y 0 (x) < 0

                                       69

Страницы