Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 67 стр.

Из второго достаточного условия экстремума следует, что точки вида

                              x = πk, k ∈ Z

являются точками локального максимума, а точки
                                 2π
                           x=±      + 2π, n ∈ Z
                                  3
являются точками локального миниимума.¤

13.4.4. Найти экстремумы функции y = x + sin x.
5 Вычислим производную функции y 0 = 1 + cos x. Производная равна нулю
в бесконечном числе критических точек x = (2k + 1)π, k ∈ Z . Воспользу-
емся третьим достаточным условием экстремума, для того чтобы выбрать
среди критических точек точки экстремума . Найдем вторую производную
функции y 00 = − sin x. Значения второй призводной в найденных точках
y 00 ((2k + 1)π) = 0. Найдем третью производную функции y 000 = − cos x,
тогда y 000 ((2k + 1)π) = 1. Так как первая и вторая производные в крити-
ческих точках равны нулю, а третья производная в критических точках не
равна нулю, то согласно третьему достаточному условию экстремума у дан-
ной функции экстремумов нет.¤

13.4.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
                                         1
                                y =x+
                                         x
на отрезке [0, 01; 100].
5 Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную
                                 1   x2 − 1
                           y =1− 2 =        .
                                x      x2
Производная равна нулю в точках x = 1 и x = −1 и не определена в
точке x = 0. Точка x = 0 не принадлежит области допустимых значе-
ний функции, а точка x = 0 не принадлежит отрезку [0, 01; 100]. В точке
x = 1 производная меняет знак с "−"на "+ поэтому точка x = 1 явля-
ется точкой локального минимума. Для нахождения абсолютных минимума

                                    67