Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

13.2.3 Третье достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) диф-
ференцируема n раз и
f
(k)
(x
0
) = 0, k = 1, . . . , n − 1, f
(n)
(x
0
) 6= 0.
Тогда, если n — число четное, то в x
0
функция имеет локальный экстре-
мум. Причем, если f
(n)
(x
0
) > 0, то x
0
есть точка локального минимума,
если f
(n)
(x
0
) < 0, то x
0
есть точка локального максимума. Если n — число
нечетное, то в x
0
функция не имеет локального экстремума.
13.3 Наибольшее и наименьшее значения функции. Наибольшее и наимень-
шее значения непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) достигаются либо
в критических точках(т.е. там, где производная функции не существует или
равна нулю), либо на концах отрезка.
13.4. Примеры.
13.4.1. Найти экстремумы функции
y =
2x
1 + x
2
.
5 Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума,
т.е. критические точки. Для этого вычислим производную
y
0
=
2(1 − x
2
)
(1 + x
2
)
2
.
Производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в x = −1
и x = 1. Следовательно, точки экстремума функции находятся среди этих
точек. Выясним, в каких точках выполняется первое достаточное условие
экстремума. Изменение знака производной приводится в следующей таблице:
x < −1 −1 < x < 1 x > 1
y
0
(x) < 0 y
0
(x) > 0 y
0
(x) < 0
Знак производной меняется при переходе каждой из этих точек. Значит обе
точки x = −1 и x = 1 являются экстремумами функции. Как следует из
65
13.2.3 Третье достаточное условие экстремума. Пусть функция f (x) диф-
ференцируема n раз и

                f (k) (x0 ) = 0, k = 1, . . . , n − 1, f (n) (x0 ) 6= 0.

Тогда, если n — число четное, то в x0 функция имеет локальный экстре-
мум. Причем, если f (n) (x0 ) > 0, то x0 есть точка локального минимума,
если f (n) (x0 ) < 0, то x0 есть точка локального максимума. Если n — число
нечетное, то в x0 функция не имеет локального экстремума.

13.3 Наибольшее и наименьшее значения функции. Наибольшее и наимень-
шее значения непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) достигаются либо
в критических точках(т.е. там, где производная функции не существует или
равна нулю), либо на концах отрезка.

                                13.4. Примеры.

13.4.1. Найти экстремумы функции
                                               2x
                                        y=          .
                                             1 + x2
5 Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума,
т.е. критические точки. Для этого вычислим производную

                                    0  2(1 − x2 )
                                   y =            .
                                       (1 + x2 )2
Производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в x = −1
и x = 1. Следовательно, точки экстремума функции находятся среди этих
точек. Выясним, в каких точках выполняется первое достаточное условие
экстремума. Изменение знака производной приводится в следующей таблице:

                       x < −1           −1 < x < 1          x>1
                     y 0 (x) < 0          y 0 (x) > 0   y 0 (x) < 0

Знак производной меняется при переходе каждой из этих точек. Значит обе
точки x = −1 и x = 1 являются экстремумами функции. Как следует из

                                             65

Страницы