Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

точки x
0
, что для всех x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) выполнено неравенство f(x
0
) ≥
f(x). Аналогично, функция f(x) имеет в точке x
0
локальный минимум, если
существует такая окрестность (x
0
− δ, x
0
+ δ) точки x
0
, что для всех x ∈
(x
0
− δ, x
0
+ δ) выполнено неравенство f(x
0
) ≤ f(x). Говорят, что функция
f(x) имеет в точке x
0
локальный экстремум, если функция f(x) имеет в
точке x
0
локальный максимум или минимум.
13.1.1. Необходимое условие экстремума. В точке экстремума производная
функции либо не существует либо равна нулю. Точки, в которых производная
функции либо не существует либо равна нулю будем называть критическими
точками.
13.2. Достаточные условия экстремума.
13.2.1 Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x)
непрерывна в некоторой окрестности точки x
0
и имеет производную во всех
точках этой окрестности, за исключением, возможно, самой точки x
0
. Ес-
ли производная меняет знак при переходе x
0
, то x
0
есть точка локального
экстремума. Причем, если
f
0
(x) ≤ 0 при x < x
0
и f
0
(x) ≥ 0 при x > x
0
(т.е. знак производной меняется с "−"на "+"при возрастании аргумента x),
то x
0
есть точка локального минимума, если
f
0
(x) ≥ 0 при x < x
0
и f
0
(x) ≤ 0 при x > x
0
(т.е. знак производной меняется с "+"на "−"при возрастании аргумента x),
то x
0
есть точка локального максимума. Если производная не меняет знак
при переходе x
0
, то в x
0
нет локального экстремума.
13.2.2 Второе достаточное условие экстремума. Если функция f(x) имеет
вторую производную, f
0
(x
0
) = 0 и f
00
(x
0
) 6= 0, то в x
0
функция имеет ло-
кальный экстремум. Причем, если f
00
(x
0
) > 0, то x
0
есть точка локального
минимума, если f
00
(x
0
) < 0, то x
0
есть точка локального максимума.
64
точки x0 , что для всех x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) выполнено неравенство f (x0 ) ≥
f (x). Аналогично, функция f (x) имеет в точке x0 локальный минимум, если
существует такая окрестность (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 , что для всех x ∈
(x0 − δ, x0 + δ) выполнено неравенство f (x0 ) ≤ f (x). Говорят, что функция
f (x) имеет в точке x0 локальный экстремум, если функция f (x) имеет в
точке x0 локальный максимум или минимум.

13.1.1. Необходимое условие экстремума. В точке экстремума производная
функции либо не существует либо равна нулю. Точки, в которых производная
функции либо не существует либо равна нулю будем называть критическими
точками.

13.2. Достаточные условия экстремума.

13.2.1 Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция f (x)
непрерывна в некоторой окрестности точки x0 и имеет производную во всех
точках этой окрестности, за исключением, возможно, самой точки x0 . Ес-
ли производная меняет знак при переходе x0 , то x0 есть точка локального
экстремума. Причем, если

                f 0 (x) ≤ 0 при x < x0 и f 0 (x) ≥ 0 при x > x0

(т.е. знак производной меняется с "−"на "+"при возрастании аргумента x),
то x0 есть точка локального минимума, если

                 f 0 (x) ≥ 0 при x < x0 и f 0 (x) ≤ 0 при x > x0

(т.е. знак производной меняется с "+"на "−"при возрастании аргумента x),
то x0 есть точка локального максимума. Если производная не меняет знак
при переходе x0 , то в x0 нет локального экстремума.

13.2.2 Второе достаточное условие экстремума. Если функция f (x) имеет
вторую производную, f 0 (x0 ) = 0 и f 00 (x0 ) 6= 0, то в x0 функция имеет ло-
кальный экстремум. Причем, если f 00 (x0 ) > 0, то x0 есть точка локального
минимума, если f 00 (x0 ) < 0, то x0 есть точка локального максимума.

                                       64

Страницы