Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Откидывая остаток, вычисляем
3
√
30 = 3
µ
1 +
1
9
1
3
' 3
µ
1 +
1
3
3
−
1
9
3
= 3, 10699.
Погрешность при вычислении равна величине остатка в форме Лагранжа
|R
2
µ
1
9
| = |
f
(2)
(c)
9
2
· 2!
| = |
2
3
2
3
p
(1 + c)
5
| <
2
3
2
, c ∈ (0,
1
9
).
Значит погрешность не превышает
|R
2
µ
1
9
| <
2
2!3
2
9
2
= 0, 0041.¤
12.4.5. С помощью формулы Тейлора найти
lim
x→0
e
x
sin x − x(1 + x)
x
3
.
5 Записывая все члены с x
n
при n > 3 в o(x
3
), разложим по формуле
Тейлора функцию,
e
x
sin x =
µ
1 + x +
x
2
2!
+ o(x
2
)
µ
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
=
= 1
µ
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
+ x
µ
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
+
x
2
2!
µ
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
+ o(x
3
=
= x −
x
3
3!
+ x
2
+
x
3
2!
+ o(x
3
) = x + x
2
+
x
3
3
+ o(x
3
).
Подставим полученное выражение в предел и приведем подобные
lim
x→0
e
x
sin x − x(1 + x)
x
3
=
x + x
2
+
x
3
3
+ o(x
3
) − x − x
2
x
3
=
1
3
+ lim
x→0
o(x
3
)
x
3
=
1
3
.¤
62
Откидывая остаток, вычисляем
                    µ      ¶1    µ          ¶
            √
            3            1 3          1   1
              30 = 3 1 +      ' 3 1 + 3 − 3 = 3, 10699.
                         9           3   9
Погрешность при вычислении равна величине остатка в форме Лагранжа
             µ ¶
              1      f (2) (c)          2           2            1
         |R2     |=| 2         |=| p            | <  2
                                                       , c ∈ (0,   ).
              9      9 · 2!       32 3 (1 + c)5     3            9

Значит погрешность не превышает
                         µ ¶
                          1        2
                     |R2     |<         = 0, 0041.¤
                          9     2!32 92

12.4.5. С помощью формулы Тейлора найти
                              ex sin x − x(1 + x)
                          lim                     .
                          x→0          x3
5 Записывая все члены с xn при n > 3 в o(x3 ), разложим по формуле
Тейлора функцию,
                     µ        2
                                        ¶µ        3
                                                            ¶
                            x                   x
         ex sin x = 1 + x +     + o(x2 )   x−       + o(x4 ) =
                            2!                  3!
  µ               ¶   µ                  ¶      µ                 ¶
      x3                    x 3
                                            x 2
                                                      x 3
=1 x−    + o(x4 ) + x x −       + o(x4 ) +        x−      + o(x4 ) + o(x3 =
      3!                    3!              2!        3!
                  x3   2  x3      3         2  x3
            =x−      +x +    + o(x ) = x + x +    + o(x3 ).
                  3!      2!                    3
Подставим полученное выражение в предел и приведем подобные
                                   x3
    ex sin x − x(1 + x) x + x2 +   3    + o(x3 ) − x − x2  1     o(x3 ) 1
lim                    =                                  = + lim 3 = .¤
x→0          x3                          x3                3 x→0 x      3




                                        62

Страницы