Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(1+2x)
−60
= 1−60·2x+
−60 · (−61)
2!
(2x)
2
+o(x
2
) = 1−120x+7320x
2
+o(x
2
)).
Значит
(1 + x)
100
(1 − 2x)
−40
(1 + 2x)
−60
=
= (1+100x+4950x
2
+o(x
2
))·(1+80x+3240x
2
+o(x
2
))·(1−120x+7320x
2
+o(x
2
)).
Перемножим скобки в правой части. Сумма слагаемых порядка малости боль-
шей, чем 2, есть o(x
2
) при x → 0. Поэтому
(1 + 100x + 4950x
2
+ o(x
2
)) · (1 + 80x + 3240x
2
+ o(x
2
)) =
= 1 +100x+4950x
2
+80 x+80·100x
2
+ 3240 x
2
+ o(x
2
) = 1+180x+16190x
2
+ o( x
2
),
(1 + 180x + 16190x
2
+ o(x
2
))(1 − 120x + 7320x
2
+ o(x
2
)) =
= 1−120x+7320x
2
+180x−120·180x
2
+16190x
2
+o(x
2
) = 1+60x+1950x
2
+o(x
2
).¤
12.4.3. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x
13
функции
f(x) =
3
√
sin x
3
.
5 Разложим сначала по формуле Тейлора при x → 0
sin(x
3
) = x
3
−
(x
3
)
3
3!
+
(x
3
)
5
5!
+ o((x
3
)
6
) = x
3
−
x
9
3!
+
x
15
5!
+ o(x
18
) =
= x
3
µ
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
.
Получаем
f(x) =
3
s
x
3
µ
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
= x
3
r
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
).
Разложим выражение
3
r
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
до слагаемого с x
12
. Используем формулу
(1 + x)
1
3
= 1 +
x
3
+
1
3
µ
−
2
3
x
2
2!
+ . . . + (−1)
n
1 · 2 · 5 · 8 . . .
3
n
· n!
x
n
+ o(x
n
).
60
                           −60 · (−61)
(1+2x)−60 = 1−60·2x+                   (2x)2 +o(x2 ) = 1−120x+7320x2 +o(x2 )).
                                2!
Значит
                        (1 + x)100 (1 − 2x)−40 (1 + 2x)−60 =
= (1+100x+4950x2 +o(x2 ))·(1+80x+3240x2 +o(x2 ))·(1−120x+7320x2 +o(x2 )).
Перемножим скобки в правой части. Сумма слагаемых порядка малости боль-
шей, чем 2, есть o(x2 ) при x → 0. Поэтому

          (1 + 100x + 4950x2 + o(x2 )) · (1 + 80x + 3240x2 + o(x2 )) =

= 1+100x+4950x2 +80x+80·100x2 +3240x2 +o(x2 ) = 1+180x+16190x2 +o(x2 ),


          (1 + 180x + 16190x2 + o(x2 ))(1 − 120x + 7320x2 + o(x2 )) =
= 1−120x+7320x2 +180x−120·180x2 +16190x2 +o(x2 ) = 1+60x+1950x2 +o(x2 ).¤

12.4.3. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x13 функции
                                             √
                                             3
                                   f (x) =       sin x3 .

5 Разложим сначала по формуле Тейлора при x → 0
           3      3(x3 )3 (x3 )5            3 6      3    x9 x15
    sin(x ) = x −          +         + o((x ) ) = x −        +      + o(x18 ) =
                     3!         5!                        3!    5!
                              µ                          ¶
                            3        x6 x12
                      =x 1−             +       + o(x15 ) .
                                     3!    5!
Получаем
            s µ                              ¶      r
                        x 6    x 12                        x6 x12
                                                    3
     f (x) = 3 x3 1 −       +       + o(x15 ) = x 1 −          +     + o(x15 ).
                        3!      5!                          3!    5!
Разложим выражение           r
                              3x6 x12
                                  1−
                                  +        + o(x15 )
                               3!     5!
                  12
до слагаемого с x . Используем формулу
                         µ ¶ 2
            1        x 1    2 x                   1 · 2 · 5 · 8... n
    (1 + x) 3 = 1 + +     −       + . . . + (−1)n       n
                                                                  x + o(xn ).
                     3 3    3 2!                       3 · n!
                                         60

Страницы