Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Получаем
3
r
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
) =
= 1 +
1
3
µ
−
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
−
2
3
2
· 2!
µ
−
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
2
+ . . . .
Заметим, что слагаемые вида o(
³
−
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
)
´
n
) есть o(x
5n
). Поэтому в
разложении до члена с x
12
должны участвовать только слагаемые с номерами
n = 0, 1, 2. Приводя подобные и записывая все члены x
n
с n > 12 в o(x
12
)
выводим
3
r
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
) =
= 1 −
x
6
3 · 3!
+
x
12
3 · 5!
−
2
3
2
· 2!
µ
x
6
3!
2
+ o(x
12
) =
= 1 −
x
6
3 · 3!
+
µ
1
3 · 5!
−
2
3
2
· 2! · (3!)
2
x
12
+ o(x
12
) =
= 1 −
x
6
18
−
x
12
3240
+ o(x
12
).
Окончательно получаем
f(x) = x
3
r
1 −
x
6
3!
+
x
12
5!
+ o(x
15
) =
= x
µ
1 −
x
6
18
−
x
12
3240
+ o(x
12
)
= 1 −
x
7
18
−
x
13
3240
+ o(x
13
).¤
12.4.4. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить
3
√
30 и оце-
нить погрешность.
5 Используем формулу Тейлора для функции (1 + x)
m
при малых x. Пред-
ставим
3
√
30 как значение функции (1 + x)
1
3
при некотором малом x
3
√
30 =
3
p
3
3
+ 3 = 3
3
r
1 +
1
9
= 3
µ
1 +
1
9
1
3
.
Применяя формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа, получим
µ
1 +
1
9
1
3
= 1 +
1
3
·
1
9
−
2
3
2
· 2!
·
µ
1
9
2
+ R
2
µ
1
9
.
61
Получаем                   r
                           3    x6 x12
                               1−  +     + o(x15 ) =
                                3!   5!
            µ 6                  ¶          µ 6                     ¶2
          1    x    x12                2       x      x 12
   =1+       − +        + o(x15 ) − 2        − +           + o(x15 ) + . . . .
          3    3!   5!               3 · 2!    3!      5!
                               ³ 6       12
                                                    ´ n
Заметим, что слагаемые вида o( − x3! + x5! + o(x15 ) ) есть o(x5n ). Поэтому в
разложении до члена с x12 должны участвовать только слагаемые с номерами
n = 0, 1, 2. Приводя подобные и записывая все члены xn с n > 12 в o(x12 )
выводим                    r
                           3     x6 x12
                               1−    +       + o(x15 ) =
                                  3!    5!
                                               µ 6 ¶2
                      x6       x12         2     x
              =1−          +          − 2               + o(x12 ) =
                     3 · 3! 3 · 5! 3 · 2! 3!
                           µ                         ¶
                  x6           1             2
             =1−        +            − 2           2
                                                       x12 + o(x12 ) =
                 3 · 3!      3 · 5! 3 · 2! · (3!)
                               x6   x12
                           =1−    −     + o(x12 ).
                               18 3240
Окончательно получаем
                                r
                                3  x6 x12
                    f (x) = x 1 −      +    + o(x15 ) =
                                    3!   5!
            µ                        ¶
                 x6      x12      12         x7     x13
         =x 1−       −       + o(x ) = 1 −      −       + o(x13 ).¤
                 18 3240                     18 3240
                                                                  √
12.4.4. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить 3 30 и оце-
нить погрешность.
5 Используем формулу Тейлора для функции (1 + x)m при малых x. Пред-
       √                                 1
ставим 3 30 как значение функции (1 + x) 3 при некотором малом x
                                  r           µ       ¶ 13
                √3
                       p
                       3          3     1           1
                   30 = 33 + 3 = 3 1 + = 3 1 +             .
                                        9           9
Применяя формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа, получим
           µ      ¶1                     µ ¶2      µ ¶
                1 3        1 1      2     1         1
             1+      =1+ · − 2         ·      + R2     .
                9          3 9 3 · 2!     9         9

                                        61

Страницы