Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1 = a (при x
0
)
1 = b − a (при x
1
)
1 = c − b + a (при x
2
)
0 = d − c + b (при x
3
)
0 = e − d + c (при x
4
).
Решая полученную систему, находим
a = 1, b = 2, γ = 2, d = 0, e = −2.
Таким образом, при x → 0
f(x) =
1 + x + x
2
1 − x + x
2
= 1 + 2x + 2x
2
− 2x
4
+ o(x
4
).
По формуле Тейлора коэффициент при x
4
равен
f
(4)
(0)
4!
, в нашем разложе-
нии этот коэффициент равен -2. Так как разложение по формуле Тейлора
единственно, то
f
(4)
(0)
4!
= −2 и, следовательно, f
(4)
(0) = −2 · 4! = −48.¤
12.4.2. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x
2
функции
f(x) =
(1 + x)
100
(1 − 2x)
40
(1 + 2x)
60
.
5 Представим функцию f(x)в виде произведения трех функций
f(x) = (1 + x)
100
(1 − 2x)
−40
(1 + 2x)
−60
.
Используя формулу
(1 + x)
m
= 1 + mx +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
m(m − 1) . . . (m −n + 1)
n!
x
n
+ o(x
n
)
разложим по степеням переменной x до члена с x
2
(1 + x)
100
= 1 + 100x +
100 · 99
2!
x
2
+ o(x
2
) = 1 + 100x + 4950x
2
+ o (x
2
),
(1−2x)
−40
= 1−40(−2x)+
−40 · (−41)
2!
(−2x)
2
+o(x
2
) = 1+80x+3240x
2
+o(x
2
),
59
                                
                                
                                 1 = a (при x0 )
                                
                                
                                
                                                 1
                                 1 = b − a (при x )
                                
                                  1 = c − b + a (при x2 )
                                
                                
                                
                                 0 = d − c + b (при x3 )
                                
                                
                                
                                
                                  0 = e − d + c (при x4 ).
Решая полученную систему, находим

                         a = 1, b = 2, γ = 2, d = 0, e = −2.

Таким образом, при x → 0
                      1 + x + x2
              f (x) =          2
                                 = 1 + 2x + 2x2 − 2x4 + o(x4 ).
                      1−x+x
                                                              f (4) (0)
По формуле Тейлора коэффициент при x4 равен                      4! ,     в нашем разложе-
нии этот коэффициент равен -2. Так как разложение по формуле Тейлора
                  f (4) (0)
единственно, то      4!       = −2 и, следовательно, f (4) (0) = −2 · 4! = −48.¤

12.4.2. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x2 функции
                                             (1 + x)100
                                f (x) =                       .
                                        (1 − 2x)40 (1 + 2x)60
5 Представим функцию f (x)в виде произведения трех функций

                     f (x) = (1 + x)100 (1 − 2x)−40 (1 + 2x)−60 .

Используя формулу
                          m(m − 1) 2        m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
(1 + x)m = 1 + mx +               x + ... +                           x + o(xn )
                             2!                         n!
разложим по степеням переменной x до члена с x2
                                  100 · 99 2
   (1 + x)100 = 1 + 100x +                x + o(x2 ) = 1 + 100x + 4950x2 + o(x2 ),
                                    2!
                                 −40 · (−41)
(1−2x)−40 = 1−40(−2x)+                       (−2x)2 +o(x2 ) = 1+80x+3240x2 +o(x2 ),
                                      2!

                                              59

Страницы