Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4)y
(10)
от y =
e
x
x
,
5)y
(5)
от y = x ln x,
6)y
(10)
от y =
cos 3x
3
√
1 − 3x
,
7)y
(5)
от y =
ln x
x
.
11.6.7. Найти производную f
(n)
(x) от функций
1)y =
1
x(1 − x)
,
2)y =
x
√
1 − 2x
,
3)y = sin
2
x,
4)y = cos
3
x,
5)y = sin
4
x + cos
4
x,
6)y = x cos ax,
7)y = (x
2
+ 2x + 2)e
−x
,
8)y =
e
x
x
,
9)y = e
x
cos ax,
10)y = ln
a + bx
a − bx
.
12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
12.1. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Если функция f(x)
дифференцируема n раз в точке a, то при (x → a)
f(x) = f(a) + f
0
(a)(x −a)+
f
00
(a)(x − a)
2
2!
+ . . . +
f
(n)
(a)(x − a)
n
n!
+ o((x −a)
n
).
Разложение в сумму с остатком в форме Пеано единственно.
12.2. Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет непрерывные произ-
водные f
0
(x), f
00
(x), f
(n−1)
(x) на отрезке [a, b] и производную f
(n)
(x) на
интервале (a, b), тогда для любого x из [a, b] верно
f(x) = f(a) + f
0
(a)(x −a) +
f
00
(a)(x − a)
2
2!
+ . . . +
f
(n−1)
(a)(x − a)
n−1
(n − 1)!
+ R
n
(x),
где R
n
(x) — остаток в форме Лагранжа. Остаток в форме Лагранжа имеет
вид
R
n
(x) =
f
(n)
(c)(x − a)
n
n!
, c — некоторая точка интервала (a, b).
57
                                     (10)   ex
                           4)y      от y = ,
                                             x
                               (5)
                          5)y от y = x ln x,
                                          cos 3x
                        6)y (10) от y = √         ,
                                         3
                                           1 − 3x
                                           ln x
                           7)y (5) от y =       .
                                            x
11.6.7. Найти производную f (n) (x) от функций

                                                         6)y = x cos ax,
                       1
            1)y =           ,
                   x(1 − x)                         7)y = (x2 + 2x + 2)e−x ,
                       x
            2)y = √         ,                                    ex
                     1 − 2x                                 8)y = ,
                                                                 x
              3)y = sin2 x,
                        3
                                                         9)y = ex cos ax,
              4)y = cos x,
                                                                    a + bx
         5)y = sin4 x + cos4 x,                         10)y = ln          .
                                                                    a − bx


                         12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
12.1. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Если функция f (x)
дифференцируема n раз в точке a, то при (x → a)

                 0             f 00 (a)(x − a)2       f (n) (a)(x − a)n
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +                  +...+                   + o((x − a)n ).
                                        2!                     n!
Разложение в сумму с остатком в форме Пеано единственно.
12.2. Формула Тейлора. Пусть функция f (x) имеет непрерывные произ-
водные f 0 (x), f 00 (x), f (n−1) (x) на отрезке [a, b] и производную f (n) (x) на
интервале (a, b), тогда для любого x из [a, b] верно

                 0             f 00 (a)(x − a)2       f (n−1) (a)(x − a)n−1
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +                  +...+                       + Rn (x),
                                        2!                   (n − 1)!
где Rn (x) — остаток в форме Лагранжа. Остаток в форме Лагранжа имеет
вид
                f (n) (c)(x − a)n
       Rn (x) =                   , c — некоторая точка интервала (a, b).
                         n!
                                            57

Страницы