Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

При разложении функций по формуле Тейлора часто применяются разложе-
ния элементарных функций.
12.3. Разложение по формуле Тейлора важнейших элементарных функций.
Если переменная x → 0
e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+ . . . +
x
n
n!
+ o(x
n
),
sin x = x −
x
3
3!
+ . . . +
(−1)
n
x
2n−1
(2n − 1)!
+ o(x
2n
),
cos x = 1 −
x
2
2!
+ . . . +
(−1)
n
x
2n
(2n)!
+ o(x
2n+1
),
(1 + x)
m
= 1 + mx +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x
n
+ o(x
n
).
12.4. Примеры.
12.4.1. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x
4
функции
f(x) =
1 + x + x
2
1 − x + x
2
.
Чему равно f
(4)
(0)?
5 Предположим, что при x → 0
f(x) =
1 + x + x
2
1 − x + x
2
= a + bx + cx
2
+ dx
3
+ ex
4
+ o(x
4
)
— требуемое разложение. Тогда 1 + x + x
2
= (1 −x + x
2
)(a + bx + cx
2
+ dx
3
+
ex
4
+ o(x
4
)). Перемножим скобки в правой части, учитывая, что при x → 0
сумма o(x
4
) + o(x
4
) и произведение x
n
· o(x
4
) есть o(x
4
), также при m > 4
все x
m
= o(x
4
). Получим
1+x+x
2
= a+bx−ax+cx
2
−bx
2
+ax
2
+dx
3
−cx
3
+bx
3
+ex
4
−dx
4
+cx
4
+o(x
4
).
Так как разложение по формуле Тейлора единственно, то коэффициенты при
одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства сов-
падают. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и
левой частях, получим систему уравнений
58
При разложении функций по формуле Тейлора часто применяются разложе-
ния элементарных функций.
12.3. Разложение по формуле Тейлора важнейших элементарных функций.
Если переменная x → 0
                        x       x2         xn
                        e =1+x+    + ... +    + o(xn ),
                                2!         n!

                             x3         (−1)n x2n−1
                 sin x = x −    + ... +             + o(x2n ),
                             3!          (2n − 1)!

                          x2          (−1)n x2n
                 cos x = 1 −  + ... +           + o(x2n+1 ),
                          2!            (2n)!
                    m(m − 1) 2         m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
(1 + x)m = 1 + mx +          x +...+                             x + o(xn ).
                       2!                          n!

                               12.4. Примеры.
12.4.1. Написать разложение по целым неотрицательным степеням перемен-
ной x до члена с x4 функции
                                       1 + x + x2
                               f (x) =            .
                                       1 − x + x2
Чему равно f (4) (0)?
5 Предположим, что при x → 0
                   1 + x + x2
           f (x) =          2
                              = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + o(x4 )
                   1−x+x
— требуемое разложение. Тогда 1 + x + x2 = (1 − x + x2 )(a + bx + cx2 + dx3 +
ex4 + o(x4 )). Перемножим скобки в правой части, учитывая, что при x → 0
сумма o(x4 ) + o(x4 ) и произведение xn · o(x4 ) есть o(x4 ), также при m > 4
все xm = o(x4 ). Получим

1+x+x2 = a+bx−ax+cx2 −bx2 +ax2 +dx3 −cx3 +bx3 +ex4 −dx4 +cx4 +o(x4 ).

Так как разложение по формуле Тейлора единственно, то коэффициенты при
одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства сов-
падают. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и
левой частях, получим систему уравнений

                                       58

Страницы