Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.5.8. Найти производную y
(n)
(x) от функции
y(x) =
x
3
√
1 − x
.
5 Представим функцию y(x)в виде произведения
y = x · (1 − x)
−
1
3
.
По формуле Лейбница
y
(n)
=
n
X
k=0
C
k
n
(x)
(k)
((1 − x)
−
1
3
)
(n−k)
.
Так как
(x)
(0)
= x, x
0
= 1 и (x)
(k)
= 0 для всех k = 2, . . . n,
то суммироваться будут только два первых слагаемые. Найдем (1 − x
−
1
3
)
(k)
.
Начнем с вычисления
((1 − x)
−
1
3
)
0
= −
1
3
· (1 − x)
−
4
3
· (−1) =
1
3
· (1 − x)
−
4
3
,
((1 − x)
−
1
3
)
00
=
1
3
µ
−
4
3
· (1 − x)
−
7
3
· (−1) =
4
9
· (1 − x)
−
7
3
.
((1 − x)
−
1
3
)
000
=
4
9
µ
−
7
3
· (1 − x)
−
10
3
· (−1) =
4 · 7
3
3
· (1 − x)
−
10
3
.
По аналогии вычисляется
((1 − x)
−
1
3
)
(k)
=
4 · 7 . . . (3k −2)
3
k
· (1 − x)
−
(3k+1)
3
=
4 · 7 . . . (3k −2)
3
k
(1 − x)
k+
1
3
.
Подставляя полученные выражения в формулу Лейбница, выводим
y
(n)
= x((1 − x)
−
1
3
)
(n)
+ n((1 − x)
−
1
3
)
(n−1)
=
= x
4 · 7 . . . (3k −2)
3
n
(1 − x)
n+
1
3
+ n
4 · 7 . . . (3(n − 1) − 2)
3
(n−1)
(1 − x)
(n−1)+
1
3
=
= x
4 · 7 . . . (3k −2)
3
n
(1 − x)
n+
1
3
+ n
4 · 7 . . . (3n − 5)
3
(n−1)
(1 − x)
n−1+
1
3
=
55
11.5.8. Найти производную y (n) (x) от функции
                                                                 x
                                             y(x) = √               .
                                                    3
                                                                1−x
5 Представим функцию y(x)в виде произведения
                                                                      1
                                            y = x · (1 − x)− 3 .

По формуле Лейбница

                                          n
                                          X                               1
                                (n)
                            y         =         Cnk (x)(k) ((1 − x)− 3 )(n−k) .
                                          k=0
Так как
              (x)(0) = x, x0 = 1 и (x)(k) = 0 для всех k = 2, . . . n,
                                                                                                1
то суммироваться будут только два первых слагаемые. Найдем (1 − x− 3 )(k) .
Начнем с вычисления
                        1       1           4         1           4
              ((1 − x)− 3 )0 = − · (1 − x)− 3 · (−1) = · (1 − x)− 3 ,
                                3                     3
                              µ ¶
                    − 13    1     4                7         4          7
         ((1 − x) )00 =         −      · (1 − x)− 3 · (−1) = · (1 − x)− 3 .
                            3     3                          9
                            µ ¶
                 1        4     7               10          4·7             10
       ((1 − x)− 3 )000 =     −     · (1 − x)− 3 · (−1) = 3 · (1 − x)− 3 .
                          9     3                            3
По аналогии вычисляется
                1            4 · 7 . . . (3k − 2)          − (3k+1)   4 · 7 . . . (3k − 2)
      ((1 − x)− 3 )(k) =                          · (1 − x)     3   =                  1   .
                                        3k                              3k (1 − x)k+ 3
Подставляя полученные выражения в формулу Лейбница, выводим

                                                     1                        1
                    y (n) = x((1 − x)− 3 )(n) + n((1 − x)− 3 )(n−1) =
                     4 · 7 . . . (3k − 2)                     4 · 7 . . . (3(n − 1) − 2)
                =x                         n+ 13
                                                         +n                             1   =
                           3n (1 − x)                          3(n−1) (1 − x)(n−1)+ 3
                           4 · 7 . . . (3k − 2)                  4 · 7 . . . (3n − 5)
                    =x                       n+ 13
                                                         +n                             1   =
                            3n (1 − x)                          3(n−1) (1 − x)n−1+ 3

                                                          55

Страницы