Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Продифференцируем последнее выражение
y
000
(x) =
−25 · (−3)y
0
(x)
y(x)
4
=
−75x
y(x)
5
.
В точке M(3, 4) производные принимают следуюшие значения:
y
0
(3) =
−3
4
, y
00
(3) =
−25
64
, y
000
(3) =
−225
1024
.¤
11.5.5. Пусть функция y = f(x) дифференцируема достаточное число раз и
пусть определена обратная функция x = f
−1
(y) вместе со своими производ-
ными x
0
(y), x
00
(y), x
000
(y), x
IV
(y). Найти эти производные.
5 Как известно, x
0
(y) =
1
y
0
(x)
. Найдем x
00
(y), как производную сложной
функции
x
00
(y) =
µ
1
y
0
(x)
0
=
−x
0
(y)y
00
(x)
y
0
(x)
2
=
−y
00
(x)
y
0
(x)
3
.
Аналогично, используя формулы производной сложной функции и отноше-
ния функций, получим:
x
000
(y) =
µ
−y
00
(x)
y
0
(x)
3
0
=
−y
000
(x)x
0
(y)y
0
(x)
3
+ 3y
0
(x)
2
y
00
(x)x
0
(y)y
00
(x)
y
0
(x)
6
=
=
−x
0
(y)y
0
(x)
2
· (y
000
(x)y
0
(x) − 3y
00
(x)
2
)
y
0
(x)
6
= −
y
000
(x)y
0
(x) − 3y
00
(x)
2
y
0
(x)
5
.
x
IV
(y) =
µ
−
y
000
(x)y
0
(x) − 3y
00
(x)
2
y
0
(x)
5
0
=
= −
x
0
(y)(y
0000
(x)y
0
(x) + y
000
(x)y
00
(x) − 6y
00
(x)y
000
(x))y
0
(x)
5
y
0
(x)
10
−
−
5y
0
(x)
4
y
00
(x)x
0
(y)(y
000
(x)y
0
(x) − 3y
00
(x)
2
)
y
0
(x)
10
= −
x
0
(y)y
0
(x)
4
· (y
0000
(x)y
0
(x)
2
− 10y
000
(x)y
00
(x)y
0
(x) + 15(y
00
(x))
3
)
y
0
(x)
10
=
= −
y
0000
(x)y
0
(x)
2
− 10y
000
(x)y
00
(x)y
0
(x) + 15(y
00
(x))
3
y
0
(x)
7
.¤
11.5.6. Найти производную y
(20)
от функции y = x
2
e
2x
.
53
Продифференцируем последнее выражение

                                 000  −25 · (−3)y 0 (x) −75x
                              y (x) =                  =       .
                                           y(x)4         y(x)5
В точке M (3, 4) производные принимают следуюшие значения:
                                       −3 00       −25 000      −225
                       y 0 (3) =         , y (3) =    , y (3) =      .¤
                                       4           64           1024

11.5.5. Пусть функция y = f (x) дифференцируема достаточное число раз и
пусть определена обратная функция x = f −1 (y) вместе со своими производ-
ными x0 (y), x00 (y), x000 (y), xIV (y). Найти эти производные.
                                               1
5 Как известно, x0 (y) =                   y 0 (x) .   Найдем x00 (y), как производную сложной
функции                         ¶0     µ
                00          1        −x0 (y)y 00 (x) −y 00 (x)
               x (y) =             =                = 0 3 .
                        y 0 (x)        y 0 (x)2       y (x)
Аналогично, используя формулы производной сложной функции и отноше-
ния функций, получим:
                 µ               ¶0
                     −y 00 (x)             −y 000 (x)x0 (y)y 0 (x)3 + 3y 0 (x)2 y 00 (x)x0 (y)y 00 (x)
    x000 (y) =                         =                                                               =
                     y 0 (x)3                                       y 0 (x)6
        −x0 (y)y 0 (x)2 · (y 000 (x)y 0 (x) − 3y 00 (x)2 )    y 000 (x)y 0 (x) − 3y 00 (x)2
      =                                                    =−                               .
                           y 0 (x)6                                        y 0 (x)5
                                            µ                                     ¶0
                                                  y 000 (x)y 0 (x) − 3y 00 (x)2
                          xIV (y) =             −                                      =
                                                               y 0 (x)5
              x0 (y)(y 0000 (x)y 0 (x) + y 000 (x)y 00 (x) − 6y 00 (x)y 000 (x))y 0 (x)5
           =−                                                                            −
                                                y 0 (x)10
                            5y 0 (x)4 y 00 (x)x0 (y)(y 000 (x)y 0 (x) − 3y 00 (x)2 )
                        −
                                                   y 0 (x)10
         x0 (y)y 0 (x)4 · (y 0000 (x)y 0 (x)2 − 10y 000 (x)y 00 (x)y 0 (x) + 15(y 00 (x))3 )
      =−                                                                                     =
                                               y 0 (x)10
                  y 0000 (x)y 0 (x)2 − 10y 000 (x)y 00 (x)y 0 (x) + 15(y 00 (x))3
               =−                                                                 .¤
                                               y 0 (x)7

11.5.6. Найти производную y (20) от функции y = x2 e2x .


                                                          53

Страницы