Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные
x
0
(t) = 2 − 2t, y
0
(t) = 3 − 3t
2
.
Производная x
0
(t) = 2 −2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными парамет-
рическими уравнениями определены две однозначные дифференцируемые
ветви y = f(x): f
1
(x) при t < 1 и f
2
(x) при t > 1. При t 6= 1 произ-
водные обеих ветвей имеют вид:
f
0
x
=
3 − 3t
2
2 − 2t
=
3(1 + t)
2
.
Функция y = f
0
x
также является параметрически заданной функцией и по
формуле производной параметрически заданной функции при x
0
= x(t
0
)
f
00
xx
(x
0
) =
f
00
xt
(t
0
)
x
0
(t
0
)
.
Так как
f
00
xt
=
3
2
, то f
00
xx
=
3
2
÷ (2 − 2t) =
3
4(1 − t)
.
Аналогично
f
000
xxx
(x
0
) =
f
000
xxt
(t
0
)
x
0
(t
0
)
.
Вычисляя
f
000
xxt
=
3
4(1 − t)
2
, получаем f
000
xxx
=
3
4(1 − t)
2
÷ (2 − 2t) =
3
8(1 − t)
3
.¤
11.5.4. Найти производные y
0
x
, y
00
xx
и y
000
xxx
от функции, заданной неявно урав-
нением x
2
+ y
2
= 25 . Чему равны y
0
x
, y
00
xx
и y
000
xxx
в точке M(3, 4).
5 Продифференцируем данное уравнение, считая что y = y(x). Получаем
2x + 2y(x)y
0
(x) = 0 или x + y(x)y
0
(x) = 0 ,то есть y
0
(x) =
−x
y(x)
.
Продифференцируем уравнение еще раз: 1 + y
0
(x)y
0
(x) + y(x)y
00
(x) = 0. Под-
ставляя y
0
(x) и учитывая, что x
2
+ y
2
= 25, выводим:
y
00
(x) =
−1 − (y
0
(x))
2
y(x)
=
−(x
2
+ y(x)
2
)
y(x)
3
=
−25
y(x)
3
.
52
5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные

                           x0 (t) = 2 − 2t, y 0 (t) = 3 − 3t2 .

Производная x0 (t) = 2 − 2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными парамет-
рическими уравнениями определены две однозначные дифференцируемые
ветви y = f (x): f1 (x) при t < 1 и f2 (x) при t > 1. При t 6= 1 произ-
водные обеих ветвей имеют вид:
                                      3 − 3t2   3(1 + t)
                              fx0 =           =          .
                                      2 − 2t       2
Функция y = fx0 также является параметрически заданной функцией и по
формуле производной параметрически заданной функции при x0 = x(t0 )
                                                00
                                   00          fxt (t0 )
                                  fxx (x0 )   = 0        .
                                               x (t0 )
Так как
                       00  3      00  3                3
                      fxt = , то fxx = ÷ (2 − 2t) =          .
                           2          2             4(1 − t)
Аналогично
                                                000
                                  000          fxxt (t0 )
                                 fxxx (x0 )   = 0         .
                                                x (t0 )
Вычисляя

     000         3                  000       3                      3
    fxxt =             , получаем fxxx  =           ÷ (2 − 2t) =           .¤
             4(1 − t)2                    4(1 − t)2              8(1 − t)3
11.5.4. Найти производные yx0 , yxx
                                 00    000
                                    и yxxx от функции, заданной неявно урав-
нением x2 + y 2 = 25 . Чему равны yx0 , yxx
                                         00    000
                                            и yxxx в точке M (3, 4).
5 Продифференцируем данное уравнение, считая что y = y(x). Получаем
                                                                         −x
      2x + 2y(x)y 0 (x) = 0 или x + y(x)y 0 (x) = 0 ,то есть y 0 (x) =        .
                                                                         y(x)
Продифференцируем уравнение еще раз: 1 + y 0 (x)y 0 (x) + y(x)y 00 (x) = 0. Под-
ставляя y 0 (x) и учитывая, что x2 + y 2 = 25, выводим:

                 00     −1 − (y 0 (x))2   −(x2 + y(x)2 )   −25
                y (x) =                 =                =       .
                            y(x)             y(x)3         y(x)3

                                              52

Страницы