Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.5. Примеры.
11.5.1. Найти f
00
(x), если f(x) =
arcsin x
√
1−x
2
.
5 Найдем сначала первую производную:
f
0
(x) =
(arcsin x)
0
√
1 − x
2
− (
√
1 − x
2
)
0
arcsin x
(
√
1 − x
2
)
2
=
1
√
1−x
2
√
1 − x
2
−
−x
√
1−x
2
arcsin x
1 − x
2
=
1 +
x arcsin x
√
1−x
2
1 − x
2
=
√
1 − x
2
+ x arcsin x
p
(1 − x
2
)
3
.
Дифференцируя полученную функцию, получим:
f
00
(x) =
(
√
1 − x
2
+ x arcsin x)
0
p
(1 − x
2
)
3
− (
p
(1 − x
2
)
3
)
0
(
√
1 − x
2
+ x arcsin x)
(1 − x
2
)
3
=
(
−x
√
1−x
2
+ arcsin x +
x
√
1−x
2
)
p
(1 − x
2
)
3
− (
3
2
√
1 − x
2
)(
√
1 − x
2
+ x arcsin x)
(1 − x
2
)
3
=
p
(1 − x
2
)
3
arcsin x − 1, 5x
√
1 − x
2
arcsin x − 1, 5(1 − x
2
)
(1 − x
2
)
3
=
=
(1 − x
2
) arcsin x − 1, 5x arcsin x − 1, 5
√
1 − x
2
p
(1 − x
2
)
5
.¤
11.5.2. Найти d
2
f(x) для f(x) = e
x
в случае а) x — независимая переменная;
б) x — промежуточный аргумент.
5 а) Если x — независимая переменная, то
d
(2)
f(x) = f
(2)
(x)(dx)
2
= e
x
(dx)
2
.
б) Если x — промежуточный аргумент (т.е. x = x(t)), то
d
2
f(x) = d(f
0
(x)dx) = f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x)d
2
x(t) = e
x
(dx)
2
+ e
x
d
2
x(t).¤
11.5.3. Найти производные f
0
x
, f
00
xx
и f
000
xxx
(нижний индекс обозначает, что
производные берутся по переменной x) от функции y = f(x), заданной па-
раметрически уравнениями x = 2t − t
2
, y = 3t − t
3
.
51
                                    11.5. Примеры.
                                          arcsin x
11.5.1. Найти f 00 (x), если f (x) =      √
                                            1−x2
                                                   .
5 Найдем сначала первую производную:
                    √           √                              √
                  0        2             2 0            √ 1                  −x
                                                                  1 − x2 − √1−x   arcsin x
 0      (arcsin x) 1 − x − ( 1 − x ) arcsin x             1−x2                  2
f (x) =                  √                          =
                        ( 1 − x2 )2                                   1 − x2
                                         √
                        1 + x√arcsin
                               1−x2
                                     x
                                           1 − x2 + x arcsin x
                      =                =     p                  .
                          1 − x2                (1 − x2 )3
Дифференцируя полученную функцию, получим:
            √                       p              p               √
           (  1 − x 2 + x arcsin x)0 (1 − x2 )3 − ( (1 − x2 )3 )0 ( 1 − x2 + x arcsin x)
f 00 (x) =
                                            (1 − x2 )3


        −x
                                   p                    √         √
     ( √1−x  + arcsin x +   √ x )      (1 − x2 )3 − ( 32 1 − x2 )( 1 − x2 + x arcsin x)
           2                 1−x2
 =
                                        (1 − x2 )3
            p                             √
              (1 − x2 )3 arcsin x − 1, 5x 1 − x2 arcsin x − 1, 5(1 − x2 )
          =                                                               =
                                       (1 − x2 )3
                                                           √
                 (1 − x2 ) arcsin x − 1, 5x arcsin x − 1, 5 1 − x2
               =                     p                             .¤
                                        (1 − x2 )5

11.5.2. Найти d2 f (x) для f (x) = ex в случае а) x — независимая переменная;
б) x — промежуточный аргумент.
5 а) Если x — независимая переменная, то

                          d(2) f (x) = f (2) (x)(dx)2 = ex (dx)2 .

б) Если x — промежуточный аргумент (т.е. x = x(t)), то

     d2 f (x) = d(f 0 (x)dx) = f 00 (x)(dx)2 + f 0 (x)d2 x(t) = ex (dx)2 + ex d2 x(t).¤

11.5.3. Найти производные fx0 , fxx
                                 00    000
                                    и fxxx (нижний индекс обозначает, что
производные берутся по переменной x) от функции y = f (x), заданной па-
раметрически уравнениями x = 2t − t2 , y = 3t − t3 .


                                              51

Страницы