Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11) lim
x→0+
µ
ln
1
x
x
[1].
12) lim
x→∞
µ
tg
πx
2x + 1
1
x
[1].
13) lim
x→a
µ
tg x
tg a
ctg(x−a)
[e
2
sin 2a
].
14) lim
x→0
µ
tg x
x
1
x
2
[e
1/3
].
15) lim
x→0
µ
arctg x
x
1
x
2
[e
−1/3
].
16) lim
x→0
µ
(1 + x)
1/x
e
1/x
[e
−1/2
].
17) lim
x→0
µ
2
π
arccos x
1
x
[e
−2/π
].
18) lim
x→0
µ
arcsin x
x
1
x
2
[e
1/6
].
19) lim
x→0
µ
a
x
− x ln a
b
x
− x ln b
1
x
2
[e
1
2
(ln
2
a−ln
2
b)
].
11. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
11.1. Определение производной порядка n . Пусть функция f(x) диффе-
ренцируема на некотором интервале и f
0
(x) — ее производная. Пусть f
0
(x)
также дифференцируемая функция. Второй производной от f(x) называ-
ется производная от f
0
(x), т.е.
f
00
(x) = (f
0
(x))
0
.
Последовательнымим соотношениями (при условии, что дифференцирование
имеет смысл) определяется производная порядка n от f(x) как
f
(n)
(x) = (f
(n−1)
(x))
0
.
11.2. Определение дифференциалов порядка n . Дифференциал порядка n
определяется формулой
d
n
f(x) = d(d
n−1
f(x)).
Если x — независимая переменная, то (так как dx не зависит от x)
d
n
x = d
n
x = . . . = d
n
x = 0
49
          µ           ¶x
11) lim        ln
                  1
                           [1].                                       µ         ¶1
   x→0+           x                                                     arctg x x2
                                                              15) lim                   [e−1/3 ].
                                                                  x→0      x
       µ             ¶1                                               µ            ¶1/x
                πx     x                                                (1 + x)1/x
12) lim tg                         [1].                       16) lim                    [e−1/2 ].
    x→∞       2x + 1                                              x→0        e
        µ
          tg x
               ¶ctg(x−a)                                              µ            ¶1
                                        2
                                                                        2
13) lim
    x→a tg a
                                  [e sin 2a ].                17) lim     arccos x x       [e−2/π ].
                                                                  x→0 π

          µ       ¶1                                                  µ         ¶1
              tg x x2                                                   arcsin x x2
14) lim                    [e1/3 ].                           18) lim                    [e1/6 ].
   x→0         x                                                  x→0      x

          µ    x
                          ¶1
              a − x ln a x2                 1    2
                                                     a−ln2 b)
19) lim                                [e 2 (ln                 ].
   x→0        bx − x ln b

                   11. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
                               ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
11.1. Определение производной порядка n . Пусть функция f (x) диффе-
ренцируема на некотором интервале и f 0 (x) — ее производная. Пусть f 0 (x)
также дифференцируемая функция. Второй производной от f (x) называ-
ется производная от f 0 (x), т.е.

                                            f 00 (x) = (f 0 (x))0 .

Последовательнымим соотношениями (при условии, что дифференцирование
имеет смысл) определяется производная порядка n от f (x) как

                                      f (n) (x) = (f (n−1) (x))0 .

11.2. Определение дифференциалов порядка n . Дифференциал порядка n
определяется формулой

                                      dn f (x) = d(dn−1 f (x)).

Если x — независимая переменная, то (так как dx не зависит от x)

                                  dn x = dn x = . . . = dn x = 0

                                                         49

Страницы