Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.3.6. Пример. lim
x→π/2
(tg x)
2 cos x
= {∞
0
} = e
lim
x→π / 2
2 cos x·ln(tg x)
,
lim
x→π/2
cos x · ln(tg x) = {0 · ∞} = lim
x→π/2
ln(tg x)
1
cos x
= {
∞
∞
} =
= lim
x→π/2
1
tg x
·
1
cos
2
x
−
1
cos
2
x
(−sin x)
= lim
x→π/2
cos x
sin
2
x
= 0.
Таким образом, lim
x→π/2
(tg x)
2 cos x
= e
0
= 1.
10.3.7. Пример. lim
x→0
µ
sin x
x
1/x
2
= {1
∞
} = e
lim
x→0
1
x
2
ln
sin x
x
,
lim
x→0
1
x
2
ln
sin x
x
= lim
x→0
ln
sin x
x
x
2
= {
0
0
} = lim
x→0
x
sin x
·
x cos x − sin x
x
2
· 2x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
2x
3
= {
0
0
} = lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
6x
2
= −
1
6
lim
x→0
sin x
x
= −
1
6
.
Таким образом, lim
x→0
µ
sin x
x
1/x
2
= e
−1/6
. В этом примере мы воспользовали-
лись известным пределом lim
x→0
x
sin x
= 1.¤
10.4. УПРАЖНЕНИЯ.
10.4.1. Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны от-
веты].
1) lim
x→0
sin ax
sin bx
[
a
b
].
2) lim
x→0
ch x − cos x
x
2
[1].
3) lim
x→0
3 tg 4x − 12 tg x
3 sin 4x − 12 sin x
[−2].
4) lim
x→0
x ctg x − 1
x
2
[−
1
3
].
5) lim
x→π/4
3
√
tg x − 1
2 sin
2
x − 1
[
1
3
].
6) lim
x→0
x(e
x
+ 1) − 2(e
x
− 1)
x
3
[
1
6
].
7) lim
x→0
1 − cos x
2
x
2
sin x
2
[
1
2
].
8) lim
x→0
arcsin 2x − 2 arcsin x
x
3
[1].
9) lim
x→0
a
x
− a
sin x
x
3
[
ln a
6
].
10) lim
x→0
ln(sin ax)
ln(sin bx)
[1].
47
                                                      lim 2 cos x·ln(tg x)
10.3.6. Пример. lim (tg x)2 cos x = {∞0 } = ex→π/2                           ,
                     x→π/2

                                                        ln(tg x)   ∞
             lim cos x · ln(tg x) = {0 · ∞} = lim                ={ }=
            x→π/2                                 x→π/2     1      ∞
                                                          cos x
                              1    1
                                ·
                            tg x cos2 x         cos x
                    = lim                = lim        = 0.
                     x→π/2    1                    2
                                          x→π/2 sin x
                           − 2 (− sin x)
                            cos x
Таким образом, lim (tg x)2 cos x = e0 = 1.
                    x→π/2
                            µ  ¶1/x2
                         sin x           ∞        lim x12 ln sinx x
10.3.7. Пример. lim                  = {1 } = e  x→0                ,
                   x→0     x
                        sin x
    1    sin x       ln
lim 2 ln       = lim      x = { 0 } = lim x · x cos x − sin x =
x→0 x      x     x→0    x2        0     x→0 sin x           x2 · 2x
      x cos x − sin x     0           cos x − x sin x − cos x    1    sin x   1
= lim          3
                      = { } = lim                  2
                                                              = − lim       =− .
  x→0       2x            0      x→0           6x                6 x→0 x      6
                      µ       ¶1/x2
                        sin x
Таким образом, lim                  = e−1/6 . В этом примере мы воспользовали-
                  x→0     x
                                    x
лись известным пределом lim             = 1.¤
                              x→0 sin x


                                10.4. УПРАЖНЕНИЯ.

10.4.1. Вычислить следующие пределы [в квадратных скобках указаны от-
веты].

       sin ax       a                                x(ex + 1) − 2(ex − 1)        1
1) lim             [ ].                       6) lim                             [ ].
   x→0 sin bx       b                            x→0            x3                6
       ch x − cos x                                  1 − cos x2       1
2) lim                   [1].                 7) lim 2              [   ].
   x→0       x2                                  x→0 x sin x2         2
        3 tg 4x − 12 tg x                            arcsin 2x − 2 arcsin x
3) lim                           [−2].        8) lim                             [1].
   x→0 3 sin 4x − 12 sin x                       x→0            x3
       x ctg x − 1          1                        ax − asin x      ln a
4) lim                  [−    ].              9) lim                [      ].
   x→0       x2             3                    x→0      x3           6
          √3
             tg x − 1       1                          ln(sin ax)
5) lim         2           [ ].               10) lim                 [1].
   x→π/4 2 sin x − 1        3                      x→0 ln(sin bx)

                                         47

Страницы