Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и свести вычисление предела функции g(x) ln f(x) к раскрытию неопреде-
ленности вида 0 · ∞.
При раскрытии неопределенностей с помощью правила Лопиталя можно
пользоваться замечательными пределами и эквивалентностями.
10.3. Примеры.
10.3.1. Пример. lim
x→0
tg
x
−
x
x − sin x
= {
0
0
} = lim
x→0
(tg
x
−
x
)
0
(x − sin x)
0
=
lim
x→0
1
cos
2
x
− 1
1 − cos x
= lim
x→0
1 − cos
2
x
cos
2
x(1 − cos x)
= lim
x→0
(1 + cos x)(1 − cos x)
1 − cos x
= 2.
10.3.2. Пример. lim
x→π/2
tg 3x
tg x
= {
∞
∞
} = lim
x→π/2
(tg 3x)
0
(tg x)
0
=
lim
x→π/2
1
cos
2
3x
· 3
1
cos
2
x
= 3 lim
x→π/2
cos
2
x
cos
2
3x
= {
0
0
} = 3 lim
x→π/2
2 cos x · (−sin x)
2 cos 3x · (−sin 3x) · 3
=
= − lim
x→π/2
cos x
cos 3x
= {
0
0
} = − lim
x→π/2
−sin x
(−sin 3x) · 3
=
1
3
.
10.3.3. Пример. lim
x→0+
x
2
· ln x = {0 · ∞} = lim
x→0+
ln x
1/x
2
= {
∞
∞
} =
= lim
x→0+
(ln x)
0
(1/x
2
)
0
= lim
x→0+
1/x
−2/x
3
= −
1
2
lim
x→0+
x
2
= 0.
10.3.4. Пример. lim
x→0
µ
1
x
−
1
e
x
− 1
= {∞ − ∞} = lim
x→0
e
x
− 1 − x
x(e
x
− 1)
= {
0
0
} =
= lim
x→0
e
x
− 1
e
x
− 1 + xe
x
= {
0
0
} = lim
x→0
e
x
e
x
+ e
x
+ xe
x
=
1
2
.
10.3.5. Пример. lim
x→0+
x
x
= {0
0
} = lim
x→0+
e
x·ln x
= e
lim
x→0+
x·ln x
,
lim
x
→
0+
x · ln x = {0 · ∞} = lim
x
→
0+
ln x
1/x
= {
∞
∞
} = lim
x
→
0+
1/x
−1/x
2
= 0.
Таким образом, lim
x→0+
x
x
= e
0
= 1.
46
и свести вычисление предела функции g(x) ln f (x) к раскрытию неопреде-
ленности вида 0 · ∞.
При раскрытии неопределенностей с помощью правила Лопиталя можно
пользоваться замечательными пределами и эквивалентностями.

                                   10.3. Примеры.
                                                             0
                    tg x − x     0        (tg x − x)
10.3.1. Пример. lim           = { } = lim            0 =
                x→0 x − sin x    0    x→0 (x − sin x)

         1
           2x
              −1          1 − cos2 x          (1 + cos x)(1 − cos x)
   lim cos       = lim                  = lim                        = 2.
   x→0 1 − cos x          2
                   x→0 cos x(1 − cos x)   x→0       1 − cos x
                                                         0
                     tg 3x    ∞         (tg 3x)
10.3.2. Пример. lim        = { } = lim        0 =
               x→π/2 tg x     ∞   x→π/2 (tg x)

          1
           2 3x
                ·3           cos2 x     0                2 cos x · (− sin x)
  lim  cos         = 3 lim          = {   } = 3  lim                            =
 x→π/2       1        x→π/2 cos2 3x     0       x→π/2 2 cos 3x · (− sin 3x) · 3
         cos2 x
                        cos x    0             − sin x       1
             = − lim          = { } = − lim                 = .
                 x→π/2 cos 3x    0     x→π/2 (− sin 3x) · 3  3
                                                      ln x     ∞
10.3.3. Пример. lim x2 · ln x = {0 · ∞} = lim              = {   }=
                   x→0+                          x→0+ 1/x2     ∞
                               0
                     (ln x)           1/x       1
               = lim      2 0 =  lim      3
                                            = −    lim x2 = 0.
                x→0+ (1/x )     x→0+ −2/x       2 x→0+
                         µ             ¶
                             1     1                       ex − 1 − x     0
10.3.4. Пример. lim            − x         = {∞ − ∞} = lim            = {   }=
                   x→0       x e −1                    x→0 x(ex − 1)      0
                     ex − 1        0               ex        1
             = lim x           = {   } = lim               =   .
               x→0 e − 1 + xex     0     x→0 ex + ex + xex   2

                                                       lim x·ln x
10.3.5. Пример. lim xx = {00 } = lim ex·ln x = ex→0+                ,
                   x→0+                x→0+
                           ln x    ∞         1/x
lim x · ln x = {0 · ∞} = lim    = { } = lim       = 0.
x→0+                  x→0+ 1/x     ∞   x→0+ −1/x2
Таким образом, lim xx = e0 = 1.
                 x→0+

                                           46

Страницы