Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

dx = 1 4f(1) = 5 df(1) = 1
dx = 0, 1 4f(1) = 0, 131 df(1) = 0, 1
dx = 0, 01 4f(1) = 0, 010301 df(1) = 0, 01.
Как видно из таблицы, при убывании к нулю значений dx значения 4f(1)
и df(1) становятся приблизительно равны.¤
9.2.2. Найти d(
√
a
2
+ x
2
).
5 Для того, чтобы найти дифференциал , найдем
f
0
(x) =
x
√
a
2
+ x
2
.
Тогда по формуле из 4.1
df(x) = f
0
(x)dx =
x
√
a
2
+ x
2
dx.¤
9.2.3. Пусть u, v — дифференцируемые функции от x. Найти d
¡
u
v
2
¢
.
5 Используя правила нахождения производной, получаем
d
³
u
v
2
´
=
v
2
du − udv
2
v
4
=
v
2
du − 2uvdv
v
4
.
9.2.4. Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно
3
√
1, 02.
5 Обозначим f(x) =
3
√
x. Нужно найти f(1 + 0, 02). Заменяя прираще-
ние функции дифференциалом, получим f(1 + dx) − f(1) ≈ f
0
(1)dx. При
dx = 0, 02, формула примет вид f(1 + 0 , 02) ≈ f
0
(1)0, 02 + f(1). Для оконча-
тельного результата осталось вычислить f
0
(x) в точке x = 1 и f(1):
f
0
(x) =
1
3
3
√
x
2
, f
0
(1) =
1
3
, f(1) = 1 .
Следовательно
3
p
1, 02 = f(1 + 0, 02) ≈ f
0
(1)0, 02 + f(1) =
0, 02
3
+ 1 ≈ 1, 0067.¤
9.3. УПРАЖНЕНИЯ.
9.3.1. Найдите дифференциал функции y, если
44
                    dx = 1            4f (1) = 5            df (1) = 1
                  dx = 0, 1      4f (1) = 0, 131          df (1) = 0, 1
                dx = 0, 01     4f (1) = 0, 010301 df (1) = 0, 01.

Как видно из таблицы, при убывании к нулю значений dx значения 4f (1)
и df (1) становятся приблизительно равны.¤
                √
9.2.2. Найти d( a2 + x2 ).
5 Для того, чтобы найти дифференциал , найдем
                                                x
                                f 0 (x) = √           .
                                              a2 + x2
Тогда по формуле из 4.1
                                                   x
                       df (x) = f 0 (x)dx = √            dx.¤
                                                 a2 + x2
                                                                          ¡u¢
9.2.3. Пусть u, v — дифференцируемые функции от x. Найти d                v2    .
5 Используя правила нахождения производной, получаем
                 ³ u ´ v 2 du − udv 2   v 2 du − 2uvdv
                d 2 =                 =                .
                   v          v4               v4
9.2.4. Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно
√3
   1, 02.
                      √
5 Обозначим f (x) = 3 x. Нужно найти f (1 + 0, 02). Заменяя прираще-
ние функции дифференциалом, получим f (1 + dx) − f (1) ≈ f 0 (1)dx. При
dx = 0, 02, формула примет вид f (1 + 0, 02) ≈ f 0 (1)0, 02 + f (1). Для оконча-
тельного результата осталось вычислить f 0 (x) в точке x = 1 и f (1):
                                1               1
                      f 0 (x) = √   , f 0
                                          (1) =   , f (1) = 1.
                                3
                               3 x2             3
Следовательно
     p                                                 0, 02
      3
        1, 02 = f (1 + 0, 02) ≈ f 0 (1)0, 02 + f (1) =       + 1 ≈ 1, 0067.¤
                                                         3

                              9.3. УПРАЖНЕНИЯ.
9.3.1. Найдите дифференциал функции y , если

                                        44

Страницы